Los productos notables son formas de expresar multiplicaciones o potencias de forma sencilla, estos ya han sido demostrados.
Entre los básicos tenemos:
Suma por diferencia
$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$
Ejemplos:
$(x+3)(x-3)=x^{2}-3^{2}=x^{2}-9$
Binomio al cuadrado
$(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2(a)(b)$
Ejemplos:
$(2x+3)^{2}=(2x)^{2}+(3)^{2}+2(2x)(3)=4x^{2}+9+12x$
$(x-4)^{2}=x^{2}+(-4)^{2}+2(x)(-4)=x^{2}+16-8x$
Identidades de Legendre:
En base al binomio al cuadrado se extraen:
$(a+b)^{2}+(a-b)^{2}=2a^{2}+2b^{2}$
$(a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab$
Identidad de Steven
Al multiplicar dos o tres binomios mónicos se cumple:
$(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+a.b$
$(x+a)(x+b)(x+c)=x^{3}+(a+b+c)x^{2}+(ab+bc+ca)x+a.b.c$
Identidades de Argand
$(x^{2}+xy+y^{2})(x^{2}-xy+y^{2})=x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}$
Identidad de Lagrange
$(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})=(ax+by)^{2}+(ay+bx)^{2}$
$(a^{2}+b^{2}+c^{2})(x^{2}+y^{2}+z^{2})=(ax+by+cz)^{2}+(ay-bx)^{2}+(az-cx)^{2}+(bz-cy)^{2}$
Binomio al cubo
$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$
Identidad de Cauchy
$(a+b)^{3}=a^{3}+3ab(a+b)+b^{3}$
$(a-b)^{3}=a^{3}-3ab(a-b)-b^{3}$
Suma y diferencia de cubos
$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$
$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$
Identidades de Gauss
$(a+b+c)(ab+bc+ca)=(a+b)(b+c)(c+a)+abc$
$(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$
Trinomio al cuadrado
$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}2(ab+bc+ca)$
Trinomio al cubo
$(a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc$
Identidades condicionales
Se cumplen cuando: $a+b+c=0$
- $a^{2}+b^{2}+c^{2}=-2(ab+bc+ca)$
- $(ab+bc+ca)^{2}=(ab)^{2}+(bc)^{2}+(ca)^{2}$
- $a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc$
- $2(a^{4}+b^{4}+c^{4})=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$
- $a^{5}+b^{5}+c^{5}=-5abc(ab+bc+ca)$
