¿Qué son las proporciones?
Las proporciones en matemáticas son la comparación de dos o más razones, lo que nos lleva a la siguiente pregunta:¿Qué son las razones?
Las razones son las comparaciones de dos magnitudes o cantidades y pueden ser aritméticas o geométricas.Razón aritmética: compara dos cantidades mediante la sustracción.
$$ a-b=k $$ "a" es el antecedente y "b es el consecuente".
Razón geométrica: compara dos cantidades mediante la división.
$$ \frac{a}{b}=k $$ "a" es el antecedente y "b es el consecuente".
Tipos de proporciones
Proporciones aritméticas
Comparan razones aritméticas y pueden ser:Discretas
$$ a-b=c-d $$
Ejemplo:
$$ 9-4=6-1 $$
Donde:
a: primera diferencial
b: segunda diferencial
c: tercera diferencial
d: cuarta diferencial
Nota: generalmente se pide calcular la cuarta diferencial, dando de datos los otros 3 valores. Además "a" y "d" son los extremos, mientras "b" y "c" son los medios
Continuas
$$ a-b=b-c $$
Ejemplo:
$$ 9-7=7-5 $$
Donde:
a: primera diferencial
b: segunda diferencial o media aritmética
c: tercera diferencial
Nota: "a" y "c" son los extremos, mientras "b" es el único medio, por lo cual puede considerarse la media aritmética de ambos extremos al despejar "b":$$ a+c=b+b $$
$$ a+c=2b $$
$$ \frac{a+b}{2}=b $$
Proporciones geométricas
Comparan razones geométricas y pueden ser:Continuas
$$ \frac{a}{b}=\frac{c}{d} $$
Donde:
a: primera proporcional
b: segunda proporcional
c: tercera proporcional
d: cuarta proporcional
Nota: "a" y "d" son los extremos, mientras "b" y "c" son los medios
Discretas
$$ \frac{a}{b}=\frac{b}{c} $$
Donde:
a: primera proporcional
b: segunda proporcional o media geométrica
c: tercera proporcional
Nota: "a" y "d" son los extremos, mientras "b" y "c" son los medios, de modo que si despejamos "b" obtendremos:$$ a.c=b.b $$
$$ a.c=b^{2} $$
$$\sqrt{a.c}=b $$
Propiedades de las proporciones geométricas
Si tenemos una proporción geométrica, podemos agrupar los antecedentes, parte superior, y los consecuentes, parte inferior, resultando en una razón equivalente a las demás, evitando que el resultado de cero.
$$ \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d} $$
Ejemplo:
$$ \frac{1}{2}=\frac{3}{6}=\frac{1+3}{2+6}=\frac{1-2}{3-6} $$
En todos los casos la razón resultante sería 0,5
Media aritmética
Para calcular la media aritmética de un grupo de número, se debe sumar estos y dividir dicha suma entre el total de elementos.Ejemplo: Calcular la media aritmética de: 2; 4; 10; 12 y 90
$$ \frac{2+4+10+12+90}{5}=\frac{118}{5}=23,6 $$
Media geométrica
Para calcular la media geométrica de un grupo de número, se debe multiplicar estos y al resultado aplicarle una raíz cuyo indice debe coincidir con el total de elementos.
Ejemplo:Calcular la media geométrica de: 2; 4; y 8
$$ \sqrt[3]{2.4.8}=\sqrt[3]{64}=4$$
