INVERSA DE UNA MATRIZ - GAUSS

Condiciones generales de una matriz invertible

Una matriz inversa cumple las siguientes condiciones, considerando una matriz A:

1. La matriz debe ser cuadrada
2. $det(A) \neq 0$
3. $A \cdot A^{-1}=I$

Método de gauss

Consideremos la siguiente matriz:

$$A= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3\\  2 & 0 & 5\\  3 & -1 & 4 \end{bmatrix}$$

Primer paso: Ampliamos la matriz con I

Tendremos:

$$A= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3\\  2 & 0 & 5\\  3 & -1 & 4 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\  0 & 1 & 0\\  0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$

Segundo paso: Convertir la primera columna

Debemos hacer que la primera columna tenga la forma: $\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}$

Siempre se comienza con el elemento pivote, es decir el elemento que se debe convertir en 1, para esta primera columna es el primer elemento, que ya se encuentra con el valor de 1. Por lo tanto, procederemos a convertir en cero los otros dos valores

• A la fila 2 le restamos la fila 1 multiplicada por 2 para que la segunda fila tenga como primer elemento al cero

$$A= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3\\  0 & 0 & -1\\  3 & -1 & 4 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\  -2 & 1 & 0\\  0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$

• A la fila 3 le restamos la fila 1 multiplicada por 3 para que la tercera fila tenga como primer elemento al cero

$$A= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3\\  0 & 0 & -1\\  0 & -1 & -5 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\  -2 & 1 & 0\\  -3 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$

Tercer paso: Convertir la segunda columna

Debemos hacer que la segunda columna tenga la forma: $\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}$

• Cambiamos la segunda fila por la tercera

$$A= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3\\  0 & -1 & -5\\  0 & 0 & -1 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\  -3 & 0 & 1\\  -2 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$

• Dividimos la segunda fila entre -1

$$A= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3\\  0 & 1 & 5\\  0 & 0 & -1 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\  3 & 0 & -1\\  -2 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$

Cuarto paso: Convertir la tercera columna

Debemos hacer que la tercera columna tenga la forma: $\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}$

• Dividimos la tercera fila entre -1

$$A= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3\\  0 & 1 & 5\\  0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\  3 & 0 & -1\\  2 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$

• A la fila 1 le restamos la fila 3 multiplicada por 3 para que su tercer elemento sea 0

$$A= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\  0 & 1 & 5\\  0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} -5 & 3 & 0\\  3 & 0 & -1\\  2 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$

• A la fila 2 le restamos la fila 3 multiplicada por 5 para que su tercer elemento sea 0

$$A= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\  0 & 1 & 0\\  0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} -5 & 3 & 0\\  -7 & 5 & -1\\  2 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$

Finalmente obtenemos la matriz inversa:

$$A^{-1}= \begin{bmatrix} -5 & 3 & 0\\  -7 & 5 & -1\\  2 & -1 & 0 \end{bmatrix}$$

INVERSA DE UNA MATRIZ - MÉTODO DE LA ADJUNTA

Condiciones generales de una matriz invertible

Una matriz inversa cumple las siguientes condiciones, considerando una matriz A:

1. La matriz debe ser cuadrada
2. $det(A) \neq 0$
3. $A \cdot A^{-1}=I$

Método de la adjunta

Consideremos la siguiente matriz:

$$A= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3\\  2 & 0 & 5\\  3 & -1 & 4 \end{bmatrix}$$

Hallamos su determinante mediante Sarrus o cofactores:
$$det(A) = -1$$

Primer paso: Matriz de menores

Consiste en crear una matriz de menor orden por cada elemento de la matriz, por ejemplo para el primer elemento, no utilizamos ni la primera fila ni la primera columna:

$$\begin{bmatrix} \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\  \blacksquare & 0 & 5\\  \blacksquare & -1 & 4 \end{bmatrix}$$	$$\begin{bmatrix} \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare\\  2 & \blacksquare & 5\\  3 & \blacksquare & 4 \end{bmatrix}$$	$$\begin{bmatrix} \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare\\  2 & 0 & \blacksquare\\  3 & -1 & \blacksquare \end{bmatrix}$$
$$\begin{bmatrix} \blacksquare & 0 & 3\\  \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare\\  \blacksquare & -1 & 4 \end{bmatrix}$$	$$\begin{bmatrix} 1 & \blacksquare & 3\\  \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare\\  3 & \blacksquare & 4 \end{bmatrix}$$	$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & \blacksquare\\  \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare\\  3 & -1 & \blacksquare \end{bmatrix}$$
$$\begin{bmatrix} \blacksquare & 0 & 3\\  \blacksquare & 0 & 5\\  \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \end{bmatrix}$$	$$\begin{bmatrix} 1 & \blacksquare & 3\\  2 & \blacksquare & 5\\  \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \end{bmatrix}$$	$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & \blacksquare\\  2 & 0 & \blacksquare\\  \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \end{bmatrix}$$

De esta forma nos queda la matriz de menores, a esas matrices resultantes se las reemplazará por su determinante:

$$\begin{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 5\\  -1 & 4 \end{bmatrix}
&\begin{bmatrix}  2  & 5\\  3  & 4 \end{bmatrix}
&\begin{bmatrix} 2 & 0 \\  3 & -1  \end{bmatrix}
\\ \begin{bmatrix}  0 & 3\\  -1 & 4 \end{bmatrix}
&\begin{bmatrix} 1  & 3\\ 3  & 4 \end{bmatrix}
&\begin{bmatrix} 1 & 0 \\  3 & -1  \end{bmatrix}
\\\begin{bmatrix}  0 & 3\\   0 & 5 \end{bmatrix}
&\begin{bmatrix} 1  & 3\\  2  & 5 \end{bmatrix}
& \begin{bmatrix} 1 & 0 \\  2 & 0  \end{bmatrix}  \end{bmatrix}=
 \begin{bmatrix} 5 & -7 & -2\\  3 & -5 & -1\\  0 & -1 & 0 \end{bmatrix}
$$

Segundo paso: Matriz de cofactores

La matriz de menores alterna sus signos con la siguiente tabla de signos de la siguiente forma:

$\begin{bmatrix} 5 & -7 & -2\\  3 & -5 & -1\\  0 & -1 & 0 \end{bmatrix}$ y $\begin{bmatrix} + & - & +\\  - & + & -\\  + & - & + \end{bmatrix}$ Obtenemos finalmente: $\begin{bmatrix} 5 & 7 & -2\\  -3 & -5 & 1\\  0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

Tercer paso: Matriz traspuesta

A la matriz de cofactores se le aplica la traspuesta, de forma que todas sus filas se convierten en columnas:

$$\begin{bmatrix} 5 & -3 & 0\\  7 & -5 & 1\\  -2 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$

Cuarto paso: Dividir cada elemento entre el determinante

Finalmente, cada elemento es dividido entre el determinante de la matriz original, que era "-1" y obtenemos la matriz inversa.

$$A^{-1}=\begin{bmatrix} -5 & 3 & 0\\  -7 & 5 & -1\\  2 & -1 & 0 \end{bmatrix}$$

REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTA

¿Qué es la regla de tres?

Es una operación que permite hallar el cuarto término de una proporción conociendo los otros tres.

Esta puede ser:

• Simple
• Directa
• Inversa
• Compuesta

REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA

Se aplica cuando las magnitudes que comparamos son directamente proporcionales entre sí, esto implica que si una magnitud aumenta, la otra hará lo mismo.

Ejemplo: galones de pintura para pintar una superficie, mientras más galones de pintura tenga, mayor será la superficie que puedo pintar

El método de resolución es multiplicar en aspa o cruzado e igualar.

Supongamos que queremos calcular cuantos euros son 100 soles, pero solo sabemos que 10 soles equivalen a 2,6 euros. Entonces aplicamos la regla de tres:

$$ 10x=100.2,60 $$
$$ x=\frac{100.2,60}{10} $$
$$ x=26 $$
Determinamos que 100 soles equivalen a 26 euros.

REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA

Se aplica cuando las magnitudes que comparamos son inversamente proporcionales entre sí, esto implica que si una magnitud aumenta, la otra hará se reducirá.

Ejemplo: el número de trabajadores y el tiempo que demora una obra, mientras mayor sea el número de trabajadores, menor será el tiempo para completarla.

El método de resolución es multiplicar en línea e igualar.

Supongamos que tenemos 10 empleados que pueden realizar un trabajo en 3 horas, pero se desea saber cuanto tiempo le tomará a 15 empleados realizar el mismo trabajo, aplicamos la regla de tres simple inversa:

$$ 10.3=15x $$
$$ \frac{30}{15}=x $$
$$ x=2 $$
Determinamos que 15 empleados terminarán dicho trabajo en 2 horas.

REGLA DE TRES COMPUESTA

Cuando se comparan más de 3 magnitudes, se llama una regla de 3 compuesta, y puede ser directa, inversa o mixta.

próximamente...