Desde el punto de vista geométrico se puede determinar una recta a partir de dos puntos en el plano, es por ello que sus ecuaciones se infieren a partir de dos puntos en un plano.
Ecuación vectorial de la Recta en R2
Teniendo como base dos puntos: $P_{1}=(q;w)$ y $P_{2}=(d;f)$
Podemos definir su ecuación vectorial a partir de la siguiente expresión: $(x;y)=P_{0}+\alpha \cdot \vec{a}$
Donde:
- $P_{0}$ llamado punto de inicio o de paso puede ser cualquiera de los puntos $P_{1}$ o $P_{2}$
- $\alpha$ es el parámetro de la ecuación y no se reemplaza para obtener la ecuación
- $\vec{a}$ es el vector que se forma a partir de los puntos: $P_{1}$ y $P_{2}$
Hallamos entonces $\vec{a}$
$$\vec{a}=(d-q;f-w)$$
Reemplazamos $P_{0}$ por cualquiera de los puntos y obtenemos la ecuación vectorial:
$$(x;y)=P_{0}+\alpha \cdot \vec{a}$$
Ejemplo: Dados los puntos $(1;2)$ y $(3;8)$ determinar la ecuación vectorial de la recta que pasa por esos puntos.
Hallamos entonces $\vec{a}$
$$\vec{a}=(3-1;8-2)=(2;4)$$
Reemplazamos $P_{0}$ por cualquiera de los puntos y obtenemos la ecuación vectorial:
$$(x;y)=(1,2)+\alpha \cdot (2;4)$$
Ecuación paramétrica de la Recta en R2
Usando la ecuación vectorial de la recta, la forma paramétrica se obtiene al separar la ecuación en dos, una que contiene a los valores relacionados con "x" y la otra con "y"
A partir de la siguiente expresión: (x;y)=(a;b)$+\alpha \cdot $(c;d)
Separamos los valores que coinciden con "x" y con "y" por separado:
$$\left\{\begin{matrix}x=a+\alpha \cdot c
\\ y=b+\alpha \cdot d
\end{matrix}\right.$$
Ejemplo: Dados los puntos $(1;2)$ y $(3;8)$ determinar la ecuación paramétrica de la recta que pasa por esos puntos.
Teniendo de base la ecuación vectorial: $(x;y)=(1,2)+\alpha \cdot (2;4)$, procedemos a crear la ecuación paramétrica:
$$\left\{\begin{matrix}x=1+\alpha \cdot 2 \\ y=2+\alpha \cdot 4 \end{matrix}\right.$$
Ecuación simétrica de la Recta en R2
La ecuación simétrica se obtiene de despejar $\alpha$ e igualar las ecuaciones:
| $$x=a+\alpha \cdot c$$ $$x-a=\alpha \cdot c$$ | $$\frac{x-a}{c}=\alpha$$ |
| $$y=b+\alpha \cdot d$$ $$y-b=\alpha \cdot d$$ | $$\frac{y-b}{d}=\alpha$$ |
Finalmente, igualando obtenemos la ecuación simétrica.
$$\frac{x-a}{c}=\frac{y-b}{d}$$
Ejemplo: Dados los puntos $(1;2)$ y $(3;8)$ determinar la ecuación simétrica de la recta que pasa por esos puntos.
Teniendo de base la ecuación paramétrica: $\left\{\begin{matrix}x=1+\alpha \cdot 2 \\ y=2+\alpha \cdot 4 \end{matrix}\right.$, procedemos a crear la ecuación simétrica:
| $$\frac{x-1}{2}=\alpha$$ | $$\frac{y-2}{4}=\alpha$$ |
$$\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{4}$$
Ecuación general de la Recta en R2
La ecuación general se obtiene al trasladar todos los términos de la ecuación simétrica hacia uno de los lados de la ecuación y puede posteriormente escribirse de diversas formas:
Ejemplo: Dados los puntos $(1;2)$ y $(3;8)$ determinar la ecuación general de la recta que pasa por esos puntos.
Teniendo de base la ecuación simétrica: $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{4}$, procedemos a crear la ecuación general:
$$4x-4=2y-4$$ $$4x=2y$$
$$2x=y$$
