INVERSA DE UNA MATRIZ - GAUSS

Condiciones generales de una matriz invertible

Una matriz inversa cumple las siguientes condiciones, considerando una matriz A:

1. La matriz debe ser cuadrada
2. $det(A) \neq 0$
3. $A \cdot A^{-1}=I$

Método de gauss

Consideremos la siguiente matriz:

$$A= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3\\  2 & 0 & 5\\  3 & -1 & 4 \end{bmatrix}$$

Primer paso: Ampliamos la matriz con I

Tendremos:

$$A= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3\\  2 & 0 & 5\\  3 & -1 & 4 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\  0 & 1 & 0\\  0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$

Segundo paso: Convertir la primera columna

Debemos hacer que la primera columna tenga la forma: $\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}$

Siempre se comienza con el elemento pivote, es decir el elemento que se debe convertir en 1, para esta primera columna es el primer elemento, que ya se encuentra con el valor de 1. Por lo tanto, procederemos a convertir en cero los otros dos valores

• A la fila 2 le restamos la fila 1 multiplicada por 2 para que la segunda fila tenga como primer elemento al cero

$$A= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3\\  0 & 0 & -1\\  3 & -1 & 4 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\  -2 & 1 & 0\\  0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$

• A la fila 3 le restamos la fila 1 multiplicada por 3 para que la tercera fila tenga como primer elemento al cero

$$A= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3\\  0 & 0 & -1\\  0 & -1 & -5 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\  -2 & 1 & 0\\  -3 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$

Tercer paso: Convertir la segunda columna

Debemos hacer que la segunda columna tenga la forma: $\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}$

• Cambiamos la segunda fila por la tercera

$$A= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3\\  0 & -1 & -5\\  0 & 0 & -1 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\  -3 & 0 & 1\\  -2 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$

• Dividimos la segunda fila entre -1

$$A= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3\\  0 & 1 & 5\\  0 & 0 & -1 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\  3 & 0 & -1\\  -2 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$

Cuarto paso: Convertir la tercera columna

Debemos hacer que la tercera columna tenga la forma: $\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}$

• Dividimos la tercera fila entre -1

$$A= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3\\  0 & 1 & 5\\  0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\  3 & 0 & -1\\  2 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$

• A la fila 1 le restamos la fila 3 multiplicada por 3 para que su tercer elemento sea 0

$$A= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\  0 & 1 & 5\\  0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} -5 & 3 & 0\\  3 & 0 & -1\\  2 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$

• A la fila 2 le restamos la fila 3 multiplicada por 5 para que su tercer elemento sea 0

$$A= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\  0 & 1 & 0\\  0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} -5 & 3 & 0\\  -7 & 5 & -1\\  2 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$

Finalmente obtenemos la matriz inversa:

$$A^{-1}= \begin{bmatrix} -5 & 3 & 0\\  -7 & 5 & -1\\  2 & -1 & 0 \end{bmatrix}$$

INVERSA DE UNA MATRIZ - MÉTODO DE LA ADJUNTA

Condiciones generales de una matriz invertible

Una matriz inversa cumple las siguientes condiciones, considerando una matriz A:

1. La matriz debe ser cuadrada
2. $det(A) \neq 0$
3. $A \cdot A^{-1}=I$

Método de la adjunta

Consideremos la siguiente matriz:

$$A= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3\\  2 & 0 & 5\\  3 & -1 & 4 \end{bmatrix}$$

Hallamos su determinante mediante Sarrus o cofactores:
$$det(A) = -1$$

Primer paso: Matriz de menores

Consiste en crear una matriz de menor orden por cada elemento de la matriz, por ejemplo para el primer elemento, no utilizamos ni la primera fila ni la primera columna:

$$\begin{bmatrix} \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\  \blacksquare & 0 & 5\\  \blacksquare & -1 & 4 \end{bmatrix}$$	$$\begin{bmatrix} \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare\\  2 & \blacksquare & 5\\  3 & \blacksquare & 4 \end{bmatrix}$$	$$\begin{bmatrix} \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare\\  2 & 0 & \blacksquare\\  3 & -1 & \blacksquare \end{bmatrix}$$
$$\begin{bmatrix} \blacksquare & 0 & 3\\  \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare\\  \blacksquare & -1 & 4 \end{bmatrix}$$	$$\begin{bmatrix} 1 & \blacksquare & 3\\  \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare\\  3 & \blacksquare & 4 \end{bmatrix}$$	$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & \blacksquare\\  \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare\\  3 & -1 & \blacksquare \end{bmatrix}$$
$$\begin{bmatrix} \blacksquare & 0 & 3\\  \blacksquare & 0 & 5\\  \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \end{bmatrix}$$	$$\begin{bmatrix} 1 & \blacksquare & 3\\  2 & \blacksquare & 5\\  \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \end{bmatrix}$$	$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & \blacksquare\\  2 & 0 & \blacksquare\\  \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \end{bmatrix}$$

De esta forma nos queda la matriz de menores, a esas matrices resultantes se las reemplazará por su determinante:

$$\begin{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 5\\  -1 & 4 \end{bmatrix}
&\begin{bmatrix}  2  & 5\\  3  & 4 \end{bmatrix}
&\begin{bmatrix} 2 & 0 \\  3 & -1  \end{bmatrix}
\\ \begin{bmatrix}  0 & 3\\  -1 & 4 \end{bmatrix}
&\begin{bmatrix} 1  & 3\\ 3  & 4 \end{bmatrix}
&\begin{bmatrix} 1 & 0 \\  3 & -1  \end{bmatrix}
\\\begin{bmatrix}  0 & 3\\   0 & 5 \end{bmatrix}
&\begin{bmatrix} 1  & 3\\  2  & 5 \end{bmatrix}
& \begin{bmatrix} 1 & 0 \\  2 & 0  \end{bmatrix}  \end{bmatrix}=
 \begin{bmatrix} 5 & -7 & -2\\  3 & -5 & -1\\  0 & -1 & 0 \end{bmatrix}
$$

Segundo paso: Matriz de cofactores

La matriz de menores alterna sus signos con la siguiente tabla de signos de la siguiente forma:

$\begin{bmatrix} 5 & -7 & -2\\  3 & -5 & -1\\  0 & -1 & 0 \end{bmatrix}$ y $\begin{bmatrix} + & - & +\\  - & + & -\\  + & - & + \end{bmatrix}$ Obtenemos finalmente: $\begin{bmatrix} 5 & 7 & -2\\  -3 & -5 & 1\\  0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

Tercer paso: Matriz traspuesta

A la matriz de cofactores se le aplica la traspuesta, de forma que todas sus filas se convierten en columnas:

$$\begin{bmatrix} 5 & -3 & 0\\  7 & -5 & 1\\  -2 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$

Cuarto paso: Dividir cada elemento entre el determinante

Finalmente, cada elemento es dividido entre el determinante de la matriz original, que era "-1" y obtenemos la matriz inversa.

$$A^{-1}=\begin{bmatrix} -5 & 3 & 0\\  -7 & 5 & -1\\  2 & -1 & 0 \end{bmatrix}$$

ÁLGEBRA DE MATRICES

Suma y resta de matrices

Para poder sumar o restar matrices estas deben cumplir la siguiente condición:

Las matrices deben ser del mismo orden.

Ejemplo: Sea $A$ y $B$, Calcular $A+B$ y $A-B$

$$A= \begin{bmatrix} 3& 4\\  4& 6\\  2& 1 \end{bmatrix}$$

$$B= \begin{bmatrix} 2& 5\\  -1& 0\\  5& 2 \end{bmatrix}$$

Calculamos la suma $A+B$:

$$A+B= \begin{bmatrix} 3+2& 4+5\\  4+-1& 6+0\\  2+5& 1+2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5& 9\\ 3& 6\\  7& 3 \end{bmatrix}$$

Calculamos la resta $A-B$:

$$A+B= \begin{bmatrix} 3-2& 4-5\\  4--1& 6-0\\  2-5& 1-2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1& -1\\ 5& 6\\  -3& -1 \end{bmatrix}$$

Producto de una matriz por un escalar o número real cualquiera

En este caso todos los elementos de la matriz se multiplican por el escalar.

Ejemplo: Multiplicar la matriz $C$ por 4

$$C= \begin{bmatrix} 2& 1& 4& 0\\  -4& -6& 3& 1 \end{bmatrix}$$

Calculamos el producto $4C$:

$$4C= \begin{bmatrix} 4\cdot 2& 4\cdot 1& 4\cdot 4& 4\cdot 0\\  4\cdot (-4)& 4\cdot (-6)& 4\cdot 3& 4\cdot 1 \end{bmatrix}$$

$$4C=  \begin{bmatrix} 8& 4& 16& 0\\  -16& -24& 12& 4 \end{bmatrix}$$

Producto de matrices

Para poder multiplicar matrices entre ellas se cumple la siguiente regla:

$$A_{m \times n} \cdot B_{n \times p} = R_{m \times p}$$

Es decir el número de columnas de la primera matriz debe coincidir con el número de filas de la segunda matriz, de forma que la matriz resultante tenga el mismo número de filas de la primera matriz y el mismo número de columnas de la segunda matriz.

Ejemplo: Multiplicar A y B si:

$$A_{2 \times 3}= \begin{bmatrix} -2& 4 & 0\\  1& 2 & 4\end{bmatrix}$$

$$B_{3 \times 2}= \begin{bmatrix} 1& 2\\  -1& 0\\  3& 1 \end{bmatrix}$$

La matriz resultante tendrá un orden de $2 \times 2$

$$R_{2 \times 2}= \begin{bmatrix} r_{1;1} & r_{1;2}\\ r_{2;1} & r_{2;2}\end{bmatrix}$$

Para hallar cada valor de sus elementos multiplicamos fila por columna:

$r_{1;1} = (-2) \cdot 1 + 4 \cdot (-1) + 0 \cdot 3=-6$

$r_{1;2} = (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 0 + 0 \cdot 1=-4$

$r_{2;1} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) + 4 \cdot 3=11$

$r_{2;2} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 4 \cdot 1=6$

$$R= \begin{bmatrix} -6 & -4\\ 11 & 6\end{bmatrix}$$

ELEMENTOS Y TIPOS DE MATRICES

¿Qué es una matriz?

Es un arreglo de números organizados en filas y columnas.

¿Qué elementos tiene?

Del siguiente ejemplo:

Las matrices tiene en su nomenclatura: una variable (A), que indica el número de columnas y filas que contiene la matriz:

Entre corchetes, se colocan los elementos de la matriz, que son los números. A estos números llamados entradas de la matriz o elementos de la matriz, se los puede ubicar mediante su columna y fila, como se aprecia a continuación:

¿Cuáles son los tipos de matrices?

Existen diversos tipos de matrices, entre ellas tenemos a:

• Matriz cuadrada

Es aquella que tiene el mismo número de columnas y filas

• Matriz fila

Es aquella que posee una sola fila

• Matriz columna

Aquella que posee una sola columna

• Matriz diagonal

Es una matriz cuadrada que posee valores iguales a cero en todos los elementos que no pertenezcan a la diagonal de la matríz

• Matriz escalonada

Es una mtriz donde el primer elemento debe ser la unidad, y cada fila el primer elemento no nulo, debe ser igual a la unidad, teniendo en cuenta que cada valor diferente de cero en cada fila debe comenzar en la columna siguiente al elemento unitario anterior.

• Matriz triangular superior

Es aquella matriz cuadrada donde los elementos que se encuentran debajo de la diagonal son ceros.

• Matriz triangular inferior

Es aquella matriz cuadrada donde los elementos que se encuentran encima de la diagonal son ceros.

• Matriz identidad

Es una matriz diagonal, donde todos los elementos de la diagonal son iguales a 1.

• Matriz nula

Es una matriz donde todos los elementos son cero.

• Matriz opuesta

En base a una matriz, se dice que su opuesta es aquella que es identica en sus elementos pero con signos opuestos en cada uno de ellos.

• Matriz traspuesta

 En base a una matriz, su traspesta es aquella donde las columnas pasan a ser filas y viceversa.

• Matriz simétrica

 Se dice de las matrcies cuadradas donde sus traspuestas son iguales a la matriz original.

• Matriz antisimétrica

 En base a una matriz cuadrada, su antsimétrica es aquella igual a la opuesta de su traspuesta.