ÁLGEBRA DE MATRICES

Suma y resta de matrices

Para poder sumar o restar matrices estas deben cumplir la siguiente condición:

Las matrices deben ser del mismo orden.

Ejemplo: Sea $A$ y $B$, Calcular $A+B$ y $A-B$

$$A= \begin{bmatrix} 3& 4\\  4& 6\\  2& 1 \end{bmatrix}$$

$$B= \begin{bmatrix} 2& 5\\  -1& 0\\  5& 2 \end{bmatrix}$$

Calculamos la suma $A+B$:

$$A+B= \begin{bmatrix} 3+2& 4+5\\  4+-1& 6+0\\  2+5& 1+2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5& 9\\ 3& 6\\  7& 3 \end{bmatrix}$$

Calculamos la resta $A-B$:

$$A+B= \begin{bmatrix} 3-2& 4-5\\  4--1& 6-0\\  2-5& 1-2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1& -1\\ 5& 6\\  -3& -1 \end{bmatrix}$$

Producto de una matriz por un escalar o número real cualquiera

En este caso todos los elementos de la matriz se multiplican por el escalar.

Ejemplo: Multiplicar la matriz $C$ por 4

$$C= \begin{bmatrix} 2& 1& 4& 0\\  -4& -6& 3& 1 \end{bmatrix}$$

Calculamos el producto $4C$:

$$4C= \begin{bmatrix} 4\cdot 2& 4\cdot 1& 4\cdot 4& 4\cdot 0\\  4\cdot (-4)& 4\cdot (-6)& 4\cdot 3& 4\cdot 1 \end{bmatrix}$$

$$4C=  \begin{bmatrix} 8& 4& 16& 0\\  -16& -24& 12& 4 \end{bmatrix}$$

Producto de matrices

Para poder multiplicar matrices entre ellas se cumple la siguiente regla:

$$A_{m \times n} \cdot B_{n \times p} = R_{m \times p}$$

Es decir el número de columnas de la primera matriz debe coincidir con el número de filas de la segunda matriz, de forma que la matriz resultante tenga el mismo número de filas de la primera matriz y el mismo número de columnas de la segunda matriz.

Ejemplo: Multiplicar A y B si:

$$A_{2 \times 3}= \begin{bmatrix} -2& 4 & 0\\  1& 2 & 4\end{bmatrix}$$

$$B_{3 \times 2}= \begin{bmatrix} 1& 2\\  -1& 0\\  3& 1 \end{bmatrix}$$

La matriz resultante tendrá un orden de $2 \times 2$

$$R_{2 \times 2}= \begin{bmatrix} r_{1;1} & r_{1;2}\\ r_{2;1} & r_{2;2}\end{bmatrix}$$

Para hallar cada valor de sus elementos multiplicamos fila por columna:

$r_{1;1} = (-2) \cdot 1 + 4 \cdot (-1) + 0 \cdot 3=-6$

$r_{1;2} = (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 0 + 0 \cdot 1=-4$

$r_{2;1} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) + 4 \cdot 3=11$

$r_{2;2} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 4 \cdot 1=6$

$$R= \begin{bmatrix} -6 & -4\\ 11 & 6\end{bmatrix}$$

POLINOMIOS ESPECIALES

Tenemos varios tipos de polinomios especiales entre ellos:

• Polinomio ordenado
• Polinomio completo
• Polinomio homogéneo
• Polinomio idénticamente nulo
• Polinomio mónico

Y cuando tenemos más de dos polinomios podemos decir si son:

• Idénticos
• Semejantes

Polinomio ordenado 

Se dice cuando los exponentes de una de sus variables estan en orden ascendente o descendente, y pueden ser ordenados respecto a una variable o todas sus variables dependiendo del caso.

Ejemplo 01:
Sea el polinomio $P(x)$:
$$P(x)=x^{5}-3x^{2}+2x-15$$
Podemos reescribirlo de la siguiente manera:
$$P(x)=x^{5}-3x^{2}+2x^{1}-15x^{0}$$
Se puede apreciar que los exponentes de la variable "x" están ordenados de forma descendente, y al ser la única variable que posee el polinomio se dice que: El polinomio $P(x)$ está ordenado de forma descendente.

Ejemplo 02:
Sea el polinomio $P(x;y)$:
$$P(x;y)=2x^{2}y-10x^{7}y^{3}+y^{4}x+9y^{8}$$
Podemos reescribirlo de la siguiente manera:
$$P(x;y)=2x^{2}y^{1}-10x^{7}y^{3}+y^{4}x+9y^{8}$$
Se puede apreciar que los exponentes de la variable "x" no están ordenados, pero los exponentes de la variable "y" están ordenados de forma ascendente se dice entonces que: El polinomio $P(x;y)$ está ordenado de forma ascendente respecto a "y".

Polinomio completo

Se dice cuando los exponentes de una de sus variables se presentan desde el grado 0 hasta el grado equivalente al número de términos menos uno, y pueden ser completos respecto a una variable o todas sus variables dependiendo del caso.

Ejemplo 01:
Sea el polinomio $P(x)$:
$$P(x)=x^{2}-3x^{3}+2x-15$$
Podemos reescribirlo de la siguiente manera:
$$P(x)=x^{2}-3x^{3}+2x^{1}-15x^{0}$$
Se puede apreciar que los exponentes de la variable "x" que aparecen son: 2; 3; 1 y 0, vemos que el número de términos es 4, y los exponentes presentes vienen desde el 0 hasta el 3. Además, al ser la única variable que posee el polinomio se dice que: El polinomio $P(x)$ es completo.

Ejemplo 02:
Sea el polinomio $P(x;y)$:
$$P(x;y)=2x^{2}y^{2}-10x^{7}y+y^{3}x+9$$
Podemos reescribirlo de la siguiente manera:
$$P(x;y)=2x^{2}y^{2}-10x^{7}y+y^{3}x+9y^{0}$$
Se puede apreciar que los exponentes de la variable "x" que aparecen son: 2; 7; 0 y 0, del lado de la variable "y" son: 2; 1; 3 y 0, vemos que el número de términos es 4, y los exponentes presentes vienen desde el 0 hasta el 3 solo en la variable "y", esto significa que: El polinomio $P(x;y)$ es completo respecto a "y".

Polinomio homogéneo

Se dice cuando los grados de todos los términos que componen al polinomio son iguales.

Ejemplo:
Sea el polinomio $P(x;y;z)$:
$$P(x)=x^{5}yz^{2}-3x^{2}y^{6}+2xz^{7}$$
Podemos apreciar los grados de los monomios que lo componen:

• $x^{5}y^{1}z^{2}: Grado = 8$
• $-3x^{2}y^{6}: Grado = 8$
• $2x^{1}z^{7}: Grado = 8$

Se puede apreciar que los grados de todos los términos es 8, se dice que: El polinomio $P(x)$ es homogéneo de grado 8 o tiene grado de homogeneidad 8.

Polinomio idénticamente nulo

Se da cuando todos los coeficientes de sus términos son iguales a cero.

Ejemplo:
Sea el polinomio $P(x)$:
$$P(x)=0x^{5}-0x^{2}+0x-0$$
Se dice que: El polinomio $P(x)$ es idénticamente nulo o $P(x) \equiv 0$.

Polinomio mónico

Se dice cuando el coeficiente del término de mayor grado es igual a 1.

Ejemplo 01:
Sea el polinomio $P(x)$:
$$P(x)=x^{5}-3x^{2}+2x-15$$

El coeficiente del término de mayor grado $(x^{5})$ es igual a 1. Por lo tanto, El polinomio $P(x)$ es mónico.

Polinomios idénticos

Cuando tenemos dos o más polinomios donde sus variables, su número de términos y lo términos son completamente iguales entre si, sin la necesidad de estar ordenados de la misma forma, se habla de polinomios idénticos

Ejemplo:
Sea el polinomio $P(x)$ y $Q(x)$:
$$P(x)=x^{5}-3x^{2}+2x-15$$
$$Q(x)=x^{5}-15+2x-3x^{2}$$
Si comparamos nos daremos cuenta que poseen la misma variable "x", ambos tienen 4 términos y al compararlos entre ellos notaremos que son iguales. En ese caso decimos que: El polinomio $P(x)$ es idéntico al polinomio $Q(x9)$ o $P(x) \equiv Q(x)$.

Polinomios semejantes

Cuando tenemos dos o más polinomios donde sus variables, su número de términos y lo términos son semejantes, es decir su parte variables es igual, pero no sus coeficientes. Sin la necesidad de estar ordenados de la misma forma, se habla de polinomios semejantes

Ejemplo:
Sea el polinomio $P(x)$ y $Q(x)$:
$$P(x)=x^{5}+3x^{2}-2x-1$$
$$Q(x)=2x^{5}+5+2x-3x^{2}$$
Si comparamos nos daremos cuenta que poseen la misma variable "x", ambos tienen 4 términos y al compararlos entre ellos notaremos que son semejantes, ya que su parte variable es igual, pero no sus coeficientes. En ese caso decimos que: El polinomio $P(x)$ es semejante al polinomio $Q(x9)$.

 

MONOMIOS Y POLINOMIOS

Monomios

Son expresiones algebraicas que poseen un solo termino y este termino debe ser de tipo entero, es decir sus exponentes no pueden ser negativos o fracciones

Ejemplo

Grados relativos y absoluto

El grado relativo se aplica a cada variable, es decir si tenemos dos variables, tendremos dos grados relativos. El grado absoluto se aplica al monomio y coincide con la suma de todos los grados relativos

Del ejemplo anterior: $$M(x,y,z,w)=-45x^{2}yz^{5}w^{3}$$ Calculamos sus grados relativos. Como tiene 4 variables, tendra un grado relativo para cada variable.
Solución:El grado relativo de una variable en un monomio es su exponente

$$GR(x)$$	$$GR(y)$$	$$GR(z)$$	$$GR(w)$$
$$2$$	$$1$$	$$5$$	$$3$$
$$GA(M)$$ El grado absoluto es la suma de todos los grados relativos
$$1$$

Polinomios

Son expresiones algebraicas que estan compuestas de dos o mas monomios

Ejemplo

Grados relativos y absoluto

El grado relativo se aplica a cada variable, solo que esta vez el grado relativo sera el mayor exponente que presente la variable. El grado absoluto sera el mayor grado absoluto de todos los terminos que componen el polinomio

Del ejemplo anterior: $$P(x,y)=2x^{2}y^{3}+8x^{6}y^{2}-x^{3}y^{9}$$
Solucion: El grado relativo de una variable en un polinomio es el mayor exponente que presente en todos los monomios que componene el polinomio.

$$GR(x)$$	$$GR(y)$$
$$6$$	$$9$$
$$GA(M)$$ El grado absoluto es el mayor grado absoluto de todos los monomios que componene el polinomio
$$12$$

TÉRMINOS ALGEBRAICOS

¿Qué es un término algebraico?

Es un conjunto de números, llamados coeficientes y letras, llamadas variables.

Ejemplo:

 

¿Cómo se clasifican?

 Se clasifican en entero, fraccionario e irracional.

ENTERO: Cuando los exponentes de las variables son números enteros no negativos.

$$5x^{4}$$

$$-15y^{6}z$$

$$\frac{2}{7}x^{2}z^{3}$$

FRACCIONARIO: Cuando el exponente es negativo

$$25x^{-2}$$

$$-y^{-1}$$ $$\frac{2}{x^{2}z^{3}}$$

IRRACIONAL: Cuando el exponente es fraccionario, apareciendo una raíz.

$$\sqrt[3]{x}$$

$$\sqrt[5]{x^{2}} \cdot \sqrt[4]{y^{3}}$$

¿Qué es una expresión algebraica?

Es la agrupación de terminos algebraicos mediante sumas y/o restas

Ejemplo:
$$5x^{4}-3x^{2}+2x^{7}$$
$$\sqrt[4]{y^{3}}-2z^{4}$$

¿Qué son términos semejantes?

Son aquellos téminos algebraicos que tienen sus variables iguales entre sí.

• Estos pueden operarse aritméticamente.

Ejemplo:
$$5x^{3}-3x^{3}=2x^{3}$$
$$7xy^{2}-2xy^{2}=5xy^{2}$$
$$15\sqrt[5]{x^{2}}-10\sqrt[5]{x^{2}}=5\sqrt[5]{x^{2}}$$

 Nota: Observemos que solo se operan los coeficientes, quedando la parte literal o variables siempre igual.

PRODUCTOS NOTABLES

Los productos notables son formas de expresar multiplicaciones o potencias de forma sencilla, estos ya han sido demostrados.

Entre los básicos tenemos:

Suma por diferencia

$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$
Ejemplos:
$(x+3)(x-3)=x^{2}-3^{2}=x^{2}-9$

Binomio al cuadrado

$(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2(a)(b)$
Ejemplos:
 $(2x+3)^{2}=(2x)^{2}+(3)^{2}+2(2x)(3)=4x^{2}+9+12x$
 $(x-4)^{2}=x^{2}+(-4)^{2}+2(x)(-4)=x^{2}+16-8x$

Identidades de Legendre:

En base al binomio al cuadrado se extraen:
$(a+b)^{2}+(a-b)^{2}=2a^{2}+2b^{2}$
$(a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab$

Identidad de Steven

Al multiplicar dos o tres binomios mónicos se cumple:
$(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+a.b$
$(x+a)(x+b)(x+c)=x^{3}+(a+b+c)x^{2}+(ab+bc+ca)x+a.b.c$

Identidades de Argand

$(x^{2}+xy+y^{2})(x^{2}-xy+y^{2})=x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}$

Identidad de Lagrange

$(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})=(ax+by)^{2}+(ay+bx)^{2}$
$(a^{2}+b^{2}+c^{2})(x^{2}+y^{2}+z^{2})=(ax+by+cz)^{2}+(ay-bx)^{2}+(az-cx)^{2}+(bz-cy)^{2}$

Binomio al cubo

$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$

Identidad de Cauchy

$(a+b)^{3}=a^{3}+3ab(a+b)+b^{3}$
$(a-b)^{3}=a^{3}-3ab(a-b)-b^{3}$

Suma y diferencia de cubos

$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$
$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$

Identidades de Gauss

$(a+b+c)(ab+bc+ca)=(a+b)(b+c)(c+a)+abc$
$(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$

Trinomio al cuadrado

$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}2(ab+bc+ca)$

Trinomio al cubo

$(a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc$

Identidades condicionales

Se cumplen cuando: $a+b+c=0$

• $a^{2}+b^{2}+c^{2}=-2(ab+bc+ca)$
• $(ab+bc+ca)^{2}=(ab)^{2}+(bc)^{2}+(ca)^{2}$
• $a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc$
• $2(a^{4}+b^{4}+c^{4})=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$
• $a^{5}+b^{5}+c^{5}=-5abc(ab+bc+ca)$