PROPORCIONES

¿Qué son las proporciones?

Las proporciones en matemáticas son la comparación de dos o más razones, lo que nos lleva a la siguiente pregunta:

¿Qué son las razones?

Las razones son las comparaciones de dos magnitudes o cantidades y pueden ser aritméticas o geométricas.

Razón aritmética: compara dos cantidades mediante la sustracción.
  $$a-b=k$$ "a" es el antecedente y "b es el consecuente".

Razón geométrica: compara dos cantidades mediante la división.
  $$\frac{a}{b}=k$$ "a" es el antecedente y "b es el consecuente".

Tipos de proporciones

Como tenemos dos tipos de razones, tendremos dos tipos de proporciones:

Proporciones aritméticas

Comparan razones aritméticas y pueden ser:
Discretas
  $$a-b=c-d$$
Ejemplo:
  $$9-4=6-1$$
Donde:
a: primera diferencial
b: segunda diferencial
c: tercera diferencial
d: cuarta diferencial

Nota: generalmente se pide calcular la cuarta diferencial, dando de datos los otros 3 valores. Además "a" y "d" son los extremos, mientras "b" y "c" son los medios

Continuas
  $$a-b=b-c$$
Ejemplo:
  $$9-7=7-5$$
Donde:
a: primera diferencial
b: segunda diferencial o media aritmética
c: tercera diferencial

Nota: "a" y "c" son los extremos, mientras "b" es el único medio, por lo cual puede considerarse la media aritmética de ambos extremos al despejar "b":

  $$a+c=b+b$$
  $$a+c=2b$$
  $$\frac{a+b}{2}=b$$

Proporciones geométricas

Comparan razones geométricas y pueden ser:
Continuas
$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$
Donde:
a: primera proporcional
b: segunda proporcional
c: tercera proporcional
d: cuarta proporcional

Nota: "a" y "d" son los extremos, mientras "b" y "c" son los medios

Discretas
$$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}$$
Donde:
a: primera proporcional
b: segunda proporcional o media geométrica
c: tercera proporcional

Nota: "a" y "d" son los extremos, mientras "b" y "c" son los medios, de modo que si despejamos "b" obtendremos:

$$a.c=b.b$$
$$a.c=b^{2}$$
$$\sqrt{a.c}=b$$

Propiedades de las proporciones geométricas

Si tenemos una proporción geométrica, podemos agrupar los antecedentes, parte superior, y los consecuentes, parte inferior, resultando en una razón equivalente a las demás, evitando que el resultado de cero.

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}$$
Ejemplo:
$$\frac{1}{2}=\frac{3}{6}=\frac{1+3}{2+6}=\frac{1-2}{3-6}$$
En todos los casos la razón resultante sería 0,5

Media aritmética

Para calcular la media aritmética de un grupo de número, se debe sumar estos y dividir dicha suma entre el total de elementos.

Ejemplo: Calcular la media aritmética de: 2; 4; 10; 12 y 90

$$\frac{2+4+10+12+90}{5}=\frac{118}{5}=23,6$$

Media geométrica

Para calcular la media geométrica de un grupo de número, se debe multiplicar estos y al resultado aplicarle una raíz cuyo indice debe coincidir con el total de elementos.

Ejemplo:Calcular la media geométrica de: 2; 4; y 8

$$\sqrt[3]{2.4.8}=\sqrt[3]{64}=4$$