IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS

Razones trigonométricas de ángulos compuestos

Caso seno:

$sen(\alpha + \beta )=sen(\alpha)cos(\beta)+cos(\alpha)sen(\beta)$
$sen(\alpha - \beta )=sen(\alpha)cos(\beta)-cos(\alpha)sen(\beta)$

Caso coseno:

$cos(\alpha + \beta )=cos(\alpha)cos(\beta)-sen(\alpha)sen(\beta)$
$cos(\alpha - \beta )=cos(\alpha)cos(\beta)+sen(\alpha)sen(\beta)$

Caso tangente:

$$tan(\alpha + \beta )=\frac{tan(\alpha )+ tan(\beta )}{1-tan(\alpha ).tan(\beta )}$$

$$tan(\alpha - \beta )=\frac{tan(\alpha )- tan(\beta )}{1+tan(\alpha ).tan(\beta )}$$

Ángulos dobles

De estas identidades se desprende el caso del ángulo doble:

Caso seno:

$sen(\alpha + \alpha )=sen(\alpha)cos(\alpha )+cos(\alpha )sen(\alpha )=2sen(\alpha)cos(\alpha )$
Es decir:
$$sen(2\alpha )=2sen(\alpha)cos(\alpha )$$

Caso coseno:

$cos(\alpha + \alpha )=cos(\alpha)cos(\alpha)-sen(\alpha)sen(\alpha)=cos^{2}(\alpha)-sen^{2}(\alpha )$
Es decir:
$$cos(2\alpha)=cos^{2}(\alpha)-sen^{2}(\alpha )$$

Caso tangente:

$tan(\alpha + \alpha )=\frac{tan(\alpha )+ tan(\alpha )}{1-tan(\alpha ).tan(\alpha )}=\frac{2tan(\alpha )}{1-tan^{2}(\alpha )}$
Es decir:
$$tan(2\alpha)=\frac{2tan(\alpha )}{1-tan^{2}(\alpha )}$$

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Razones trigonométricas

Estas razones son la comparación entre las dimensiones de un triángulo rectángulo que son los catetos y la hipotenusa teniendo como referente a uno de los ángulos agudos del triángulo.

En la figura anterior observamos los catetos "a" y "b" junto a la hipotenusa "c", de modo que para el ángulo $\alpha$ su cateto opuesto, el que se encuentra frente a el es el valor "a", mientras el cateto adyacente, que se encuentra junto a este, es el valor "b"

Ahora definimos las razones trigonométricas: seno, coseno y tangente. Además, sus razones recíprocas: cosecante, secante y cotangente.

$$sen(\alpha)=\frac{CO}{H}$$ $$cos(\alpha)=\frac{CA}{H}$$ $$tan(\alpha)=\frac{CO}{CA}$$

$$csc(\alpha)=\frac{H}{CO}$$ $$sec(\alpha)=\frac{H}{CA}$$ $$ctg(\alpha)=\frac{CA}{CO}$$

Donde:
CO: cateto opuesto
CA: cateto adyacente
H: hipotenusa

Identidades recíprocas

De lo anterior, se puede hacer las siguientes igualdades:

$$sen(\alpha)=\frac{1}{csc(\alpha)}$$ $$cos(\alpha)=\frac{1}{sec(\alpha)}$$ $$tan(\alpha)=\frac{1}{ctg(\alpha)}$$

Y con ellas podemos definir al producto de dos razones recíprocas como equivalentes a la unidad:


$sen(\alpha).csc(\alpha)=1$
$cos(\alpha).sec(\alpha)=1$
$tan(\alpha).ctg(\alpha)=1$

Identidades cociente

Si tenemos en cuenta que al dividir el seno entre el coseno, dividiríamos las fracciones representadas por catetos y la hipotenusa, obtendríamos CO sobre CA:
$$\frac{sen(\alpha)}{cos(\alpha)}=\frac{\frac{CO}{H}}{\frac{CA}{H}}=\frac{CO.H}{CA.H}=\frac{CO}{CA}$$
Entonces decimos:

$$\frac{sen(\alpha)}{cos(\alpha)}=tan(\alpha)$$

$$\frac{cos(\alpha)}{sen(\alpha)}=ctg(\alpha)$$

Circunferencia trignonométrica

Considerando una circunferencia con radio=1 y su centro en el origen de coordenadas, tendríamos la siguiente gráfica:

El valor del punto de la cricunferencia con elevación de α grados sería: $(cos(\alpha); sen(\alpha))$

El seno al depender del eje "y", es positivo en los primeros cuadrantes y negativo en el tercer y cuarto cuadrante, el coseno al depender del eje "x" es positivo en el primer y cuarto cuadrante, y negativo en el segundo y tercer cuadrante. Se aprecia que el seno y coseno son negativos en el tercer cuadrante. Por ello, la tangente que es el cociente de ambos será positiva en el tercer cuadrante. Todas estas reglas de signo se aplican a sus razones recíprocas.

Identidades pitagóricas

De la CT se puede desprender que el coseno y seno del angulo forman los catetos de un triángulo rectángulo de hipotenusa igual a la unidad, si aplicamos el teorema de pitágoras a este triángulo tendríamos la siguiente afirmación:

$$sen^{2}(\alpha)+cos^{2}(\alpha)=1$$

De esta se desprende, aplicando las identidades recíprocas, las siguientes identidades:

$$csc^{2}(\alpha)-ctg^{2}(\alpha)=1$$ $$sec^{2}(\alpha)-tan^{2}(\alpha)=1$$


Si haces clic en la siguiente miniatura podrás observar una tabla de razones trigonométricas de ángulos notables:

PARÁBOLA

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA

$$(x-h)^2=\pm 4p(y-k)$$

La parábola es cóncava hacia arriba cuando el coeficiente es positivo, y hacia abajo cuando es negativo, en otras palabras tiende al infinito positivo al ser positivo y hacia el infinito negativo al ser negativa

$$(y-k)^2=\pm 4p(x-h)$$

La parábola es cóncava hacia el infinito negativo al ser negativa, primer gráfico, y hacia el infinito positivo al ser positivo, segundo gráfico.

• En ambos casos el vértice de la parábola coincide con el par ordenado: $(h; k)$
• Si "x" esta elevado al cuadrado, la gráfica es cóncava hacia arriba o abajo.
• Si "y" esta elevado al cuadrado, la gráfica es cóncava hacia la derecha o izquierda.
• El signo indica si se dirige al infinito positivo o negativo, dependiendo de la dirección de su concavidad.
• El valor "p", llamado parámetro, indica la distancia del vértice al foco y del vértice a la línea directriz.