RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Razones trigonométricas

Estas razones son la comparación entre las dimensiones de un triángulo rectángulo que son los catetos y la hipotenusa teniendo como referente a uno de los ángulos agudos del triángulo.

En la figura anterior observamos los catetos "a" y "b" junto a la hipotenusa "c", de modo que para el ángulo $\alpha$ su cateto opuesto, el que se encuentra frente a el es el valor "a", mientras el cateto adyacente, que se encuentra junto a este, es el valor "b"

Ahora definimos las razones trigonométricas: seno, coseno y tangente. Además, sus razones recíprocas: cosecante, secante y cotangente.

$$sen(\alpha)=\frac{CO}{H}$$ $$cos(\alpha)=\frac{CA}{H}$$ $$tan(\alpha)=\frac{CO}{CA}$$

$$csc(\alpha)=\frac{H}{CO}$$ $$sec(\alpha)=\frac{H}{CA}$$ $$ctg(\alpha)=\frac{CA}{CO}$$

Donde:
CO: cateto opuesto
CA: cateto adyacente
H: hipotenusa

Identidades recíprocas

De lo anterior, se puede hacer las siguientes igualdades:

$$sen(\alpha)=\frac{1}{csc(\alpha)}$$$$cos(\alpha)=\frac{1}{sec(\alpha)}$$$$tan(\alpha)=\frac{1}{ctg(\alpha)}$$

Y con ellas podemos definir al producto de dos razones recíprocas como equivalentes a la unidad:


$sen(\alpha).csc(\alpha)=1$
$cos(\alpha).sec(\alpha)=1$
$tan(\alpha).ctg(\alpha)=1$

Identidades cociente

Si tenemos en cuenta que al dividir el seno entre el coseno, dividiríamos las fracciones representadas por catetos y la hipotenusa, obtendríamos CO sobre CA:
$$\frac{sen(\alpha)}{cos(\alpha)}=\frac{\frac{CO}{H}}{\frac{CA}{H}}=\frac{CO.H}{CA.H}=\frac{CO}{CA}$$
Entonces decimos:

$$\frac{sen(\alpha)}{cos(\alpha)}=tan(\alpha)$$

$$\frac{cos(\alpha)}{sen(\alpha)}=ctg(\alpha)$$

Circunferencia trignonométrica

Considerando una circunferencia con radio=1 y su centro en el origen de coordenadas, tendríamos la siguiente gráfica:

El valor del punto de la cricunferencia con elevación de α grados sería: $(cos(\alpha); sen(\alpha))$

El seno al depender del eje "y", es positivo en los primeros cuadrantes y negativo en el tercer y cuarto cuadrante, el coseno al depender del eje "x" es positivo en el primer y cuarto cuadrante, y negativo en el segundo y tercer cuadrante. Se aprecia que el seno y coseno son negativos en el tercer cuadrante. Por ello, la tangente que es el cociente de ambos será positiva en el tercer cuadrante. Todas estas reglas de signo se aplican a sus razones recíprocas.

Identidades pitagóricas

De la CT se puede desprender que el coseno y seno del angulo forman los catetos de un triángulo rectángulo de hipotenusa igual a la unidad, si aplicamos el teorema de pitágoras a este triángulo tendríamos la siguiente afirmación:

$$sen^{2}(\alpha)+cos^{2}(\alpha)=1$$

De esta se desprende, aplicando las identidades recíprocas, las siguientes identidades:

$$csc^{2}(\alpha)-ctg^{2}(\alpha)=1$$$$sec^{2}(\alpha)-tan^{2}(\alpha)=1$$


Si haces clic en la siguiente miniatura podrás observar una tabla de razones trigonométricas de ángulos notables: