INVERSA DE UNA MATRIZ - MÉTODO DE LA ADJUNTA

Condiciones generales de una matriz invertible

Una matriz inversa cumple las siguientes condiciones, considerando una matriz A:

1. La matriz debe ser cuadrada
2. $det(A) \neq 0$
3. $A \cdot A^{-1}=I$

Método de la adjunta

Consideremos la siguiente matriz:

$$A= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3\\  2 & 0 & 5\\  3 & -1 & 4 \end{bmatrix}$$

Hallamos su determinante mediante Sarrus o cofactores:
$$det(A) = -1$$

Primer paso: Matriz de menores

Consiste en crear una matriz de menor orden por cada elemento de la matriz, por ejemplo para el primer elemento, no utilizamos ni la primera fila ni la primera columna:

$$\begin{bmatrix} \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\  \blacksquare & 0 & 5\\  \blacksquare & -1 & 4 \end{bmatrix}$$	$$\begin{bmatrix} \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare\\  2 & \blacksquare & 5\\  3 & \blacksquare & 4 \end{bmatrix}$$	$$\begin{bmatrix} \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare\\  2 & 0 & \blacksquare\\  3 & -1 & \blacksquare \end{bmatrix}$$
$$\begin{bmatrix} \blacksquare & 0 & 3\\  \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare\\  \blacksquare & -1 & 4 \end{bmatrix}$$	$$\begin{bmatrix} 1 & \blacksquare & 3\\  \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare\\  3 & \blacksquare & 4 \end{bmatrix}$$	$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & \blacksquare\\  \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare\\  3 & -1 & \blacksquare \end{bmatrix}$$
$$\begin{bmatrix} \blacksquare & 0 & 3\\  \blacksquare & 0 & 5\\  \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \end{bmatrix}$$	$$\begin{bmatrix} 1 & \blacksquare & 3\\  2 & \blacksquare & 5\\  \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \end{bmatrix}$$	$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & \blacksquare\\  2 & 0 & \blacksquare\\  \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \end{bmatrix}$$

De esta forma nos queda la matriz de menores, a esas matrices resultantes se las reemplazará por su determinante:

$$\begin{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 5\\  -1 & 4 \end{bmatrix}
&\begin{bmatrix}  2  & 5\\  3  & 4 \end{bmatrix}
&\begin{bmatrix} 2 & 0 \\  3 & -1  \end{bmatrix}
\\ \begin{bmatrix}  0 & 3\\  -1 & 4 \end{bmatrix}
&\begin{bmatrix} 1  & 3\\ 3  & 4 \end{bmatrix}
&\begin{bmatrix} 1 & 0 \\  3 & -1  \end{bmatrix}
\\\begin{bmatrix}  0 & 3\\   0 & 5 \end{bmatrix}
&\begin{bmatrix} 1  & 3\\  2  & 5 \end{bmatrix}
& \begin{bmatrix} 1 & 0 \\  2 & 0  \end{bmatrix}  \end{bmatrix}=
 \begin{bmatrix} 5 & -7 & -2\\  3 & -5 & -1\\  0 & -1 & 0 \end{bmatrix}
$$

Segundo paso: Matriz de cofactores

La matriz de menores alterna sus signos con la siguiente tabla de signos de la siguiente forma:

$\begin{bmatrix} 5 & -7 & -2\\  3 & -5 & -1\\  0 & -1 & 0 \end{bmatrix}$ y $\begin{bmatrix} + & - & +\\  - & + & -\\  + & - & + \end{bmatrix}$ Obtenemos finalmente: $\begin{bmatrix} 5 & 7 & -2\\  -3 & -5 & 1\\  0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

Tercer paso: Matriz traspuesta

A la matriz de cofactores se le aplica la traspuesta, de forma que todas sus filas se convierten en columnas:

$$\begin{bmatrix} 5 & -3 & 0\\  7 & -5 & 1\\  -2 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$

Cuarto paso: Dividir cada elemento entre el determinante

Finalmente, cada elemento es dividido entre el determinante de la matriz original, que era "-1" y obtenemos la matriz inversa.

$$A^{-1}=\begin{bmatrix} -5 & 3 & 0\\  -7 & 5 & -1\\  2 & -1 & 0 \end{bmatrix}$$