INVERSA DE UNA MATRIZ - GAUSS

Condiciones generales de una matriz invertible

Una matriz inversa cumple las siguientes condiciones, considerando una matriz A:

1. La matriz debe ser cuadrada
2. $det(A) \neq 0$
3. $A \cdot A^{-1}=I$

Método de gauss

Consideremos la siguiente matriz:

$$A= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3\\  2 & 0 & 5\\  3 & -1 & 4 \end{bmatrix}$$

Primer paso: Ampliamos la matriz con I

Tendremos:

$$A= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3\\  2 & 0 & 5\\  3 & -1 & 4 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\  0 & 1 & 0\\  0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$

Segundo paso: Convertir la primera columna

Debemos hacer que la primera columna tenga la forma: $\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}$

Siempre se comienza con el elemento pivote, es decir el elemento que se debe convertir en 1, para esta primera columna es el primer elemento, que ya se encuentra con el valor de 1. Por lo tanto, procederemos a convertir en cero los otros dos valores

• A la fila 2 le restamos la fila 1 multiplicada por 2 para que la segunda fila tenga como primer elemento al cero

$$A= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3\\  0 & 0 & -1\\  3 & -1 & 4 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\  -2 & 1 & 0\\  0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$

• A la fila 3 le restamos la fila 1 multiplicada por 3 para que la tercera fila tenga como primer elemento al cero

$$A= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3\\  0 & 0 & -1\\  0 & -1 & -5 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\  -2 & 1 & 0\\  -3 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$

Tercer paso: Convertir la segunda columna

Debemos hacer que la segunda columna tenga la forma: $\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}$

• Cambiamos la segunda fila por la tercera

$$A= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3\\  0 & -1 & -5\\  0 & 0 & -1 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\  -3 & 0 & 1\\  -2 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$

• Dividimos la segunda fila entre -1

$$A= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3\\  0 & 1 & 5\\  0 & 0 & -1 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\  3 & 0 & -1\\  -2 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$

Cuarto paso: Convertir la tercera columna

Debemos hacer que la tercera columna tenga la forma: $\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}$

• Dividimos la tercera fila entre -1

$$A= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3\\  0 & 1 & 5\\  0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\  3 & 0 & -1\\  2 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$

• A la fila 1 le restamos la fila 3 multiplicada por 3 para que su tercer elemento sea 0

$$A= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\  0 & 1 & 5\\  0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} -5 & 3 & 0\\  3 & 0 & -1\\  2 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$

• A la fila 2 le restamos la fila 3 multiplicada por 5 para que su tercer elemento sea 0

$$A= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\  0 & 1 & 0\\  0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} -5 & 3 & 0\\  -7 & 5 & -1\\  2 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$

Finalmente obtenemos la matriz inversa:

$$A^{-1}= \begin{bmatrix} -5 & 3 & 0\\  -7 & 5 & -1\\  2 & -1 & 0 \end{bmatrix}$$