CALCULADORA DE FRACCIONES

Suma de fracciones

La suma de dos fracciones se realiza a través de el método en aspa, los resultados no están simplificados.

+

=

---

Resta de fracciones

La resta de dos fracciones se realiza a través de el método en aspa, los resultados no están simplificados.

-

=

---

Producto de fracciones

La multiplicación de dos fracciones se realiza a través de una multiplicación en línea, los resultados no están simplificados.

x

=

---

División de fracciones

La división de dos fracciones se realiza a través de un producto en aspa o extremos por medios, los resultados no están simplificados.

:

=

PRODUCTOS NOTABLES

Los productos notables son formas de expresar multiplicaciones o potencias de forma sencilla, estos ya han sido demostrados.

Entre los básicos tenemos:

Suma por diferencia

$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$
Ejemplos:
$(x+3)(x-3)=x^{2}-3^{2}=x^{2}-9$

Binomio al cuadrado

$(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2(a)(b)$
Ejemplos:
 $(2x+3)^{2}=(2x)^{2}+(3)^{2}+2(2x)(3)=4x^{2}+9+12x$
 $(x-4)^{2}=x^{2}+(-4)^{2}+2(x)(-4)=x^{2}+16-8x$

Identidades de Legendre:

En base al binomio al cuadrado se extraen:
$(a+b)^{2}+(a-b)^{2}=2a^{2}+2b^{2}$
$(a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab$

Identidad de Steven

Al multiplicar dos o tres binomios mónicos se cumple:
$(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+a.b$
$(x+a)(x+b)(x+c)=x^{3}+(a+b+c)x^{2}+(ab+bc+ca)x+a.b.c$

Identidades de Argand

$(x^{2}+xy+y^{2})(x^{2}-xy+y^{2})=x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}$

Identidad de Lagrange

$(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})=(ax+by)^{2}+(ay+bx)^{2}$
$(a^{2}+b^{2}+c^{2})(x^{2}+y^{2}+z^{2})=(ax+by+cz)^{2}+(ay-bx)^{2}+(az-cx)^{2}+(bz-cy)^{2}$

Binomio al cubo

$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$

Identidad de Cauchy

$(a+b)^{3}=a^{3}+3ab(a+b)+b^{3}$
$(a-b)^{3}=a^{3}-3ab(a-b)-b^{3}$

Suma y diferencia de cubos

$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$
$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$

Identidades de Gauss

$(a+b+c)(ab+bc+ca)=(a+b)(b+c)(c+a)+abc$
$(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$

Trinomio al cuadrado

$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}2(ab+bc+ca)$

Trinomio al cubo

$(a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc$

Identidades condicionales

Se cumplen cuando: $a+b+c=0$

• $a^{2}+b^{2}+c^{2}=-2(ab+bc+ca)$
• $(ab+bc+ca)^{2}=(ab)^{2}+(bc)^{2}+(ca)^{2}$
• $a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc$
• $2(a^{4}+b^{4}+c^{4})=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$
• $a^{5}+b^{5}+c^{5}=-5abc(ab+bc+ca)$

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS

Razones trigonométricas de ángulos compuestos

Caso seno:

$sen(\alpha + \beta )=sen(\alpha)cos(\beta)+cos(\alpha)sen(\beta)$
$sen(\alpha - \beta )=sen(\alpha)cos(\beta)-cos(\alpha)sen(\beta)$

Caso coseno:

$cos(\alpha + \beta )=cos(\alpha)cos(\beta)-sen(\alpha)sen(\beta)$
$cos(\alpha - \beta )=cos(\alpha)cos(\beta)+sen(\alpha)sen(\beta)$

Caso tangente:

$$tan(\alpha + \beta )=\frac{tan(\alpha )+ tan(\beta )}{1-tan(\alpha ).tan(\beta )}$$

$$tan(\alpha - \beta )=\frac{tan(\alpha )- tan(\beta )}{1+tan(\alpha ).tan(\beta )}$$

Ángulos dobles

De estas identidades se desprende el caso del ángulo doble:

Caso seno:

$sen(\alpha + \alpha )=sen(\alpha)cos(\alpha )+cos(\alpha )sen(\alpha )=2sen(\alpha)cos(\alpha )$
Es decir:
$$sen(2\alpha )=2sen(\alpha)cos(\alpha )$$

Caso coseno:

$cos(\alpha + \alpha )=cos(\alpha)cos(\alpha)-sen(\alpha)sen(\alpha)=cos^{2}(\alpha)-sen^{2}(\alpha )$
Es decir:
$$cos(2\alpha)=cos^{2}(\alpha)-sen^{2}(\alpha )$$

Caso tangente:

$tan(\alpha + \alpha )=\frac{tan(\alpha )+ tan(\alpha )}{1-tan(\alpha ).tan(\alpha )}=\frac{2tan(\alpha )}{1-tan^{2}(\alpha )}$
Es decir:
$$tan(2\alpha)=\frac{2tan(\alpha )}{1-tan^{2}(\alpha )}$$

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Razones trigonométricas

Estas razones son la comparación entre las dimensiones de un triángulo rectángulo que son los catetos y la hipotenusa teniendo como referente a uno de los ángulos agudos del triángulo.

En la figura anterior observamos los catetos "a" y "b" junto a la hipotenusa "c", de modo que para el ángulo $\alpha$ su cateto opuesto, el que se encuentra frente a el es el valor "a", mientras el cateto adyacente, que se encuentra junto a este, es el valor "b"

Ahora definimos las razones trigonométricas: seno, coseno y tangente. Además, sus razones recíprocas: cosecante, secante y cotangente.

$$sen(\alpha)=\frac{CO}{H}$$ $$cos(\alpha)=\frac{CA}{H}$$ $$tan(\alpha)=\frac{CO}{CA}$$

$$csc(\alpha)=\frac{H}{CO}$$ $$sec(\alpha)=\frac{H}{CA}$$ $$ctg(\alpha)=\frac{CA}{CO}$$

Donde:
CO: cateto opuesto
CA: cateto adyacente
H: hipotenusa

Identidades recíprocas

De lo anterior, se puede hacer las siguientes igualdades:

$$sen(\alpha)=\frac{1}{csc(\alpha)}$$ $$cos(\alpha)=\frac{1}{sec(\alpha)}$$ $$tan(\alpha)=\frac{1}{ctg(\alpha)}$$

Y con ellas podemos definir al producto de dos razones recíprocas como equivalentes a la unidad:


$sen(\alpha).csc(\alpha)=1$
$cos(\alpha).sec(\alpha)=1$
$tan(\alpha).ctg(\alpha)=1$

Identidades cociente

Si tenemos en cuenta que al dividir el seno entre el coseno, dividiríamos las fracciones representadas por catetos y la hipotenusa, obtendríamos CO sobre CA:
$$\frac{sen(\alpha)}{cos(\alpha)}=\frac{\frac{CO}{H}}{\frac{CA}{H}}=\frac{CO.H}{CA.H}=\frac{CO}{CA}$$
Entonces decimos:

$$\frac{sen(\alpha)}{cos(\alpha)}=tan(\alpha)$$

$$\frac{cos(\alpha)}{sen(\alpha)}=ctg(\alpha)$$

Circunferencia trignonométrica

Considerando una circunferencia con radio=1 y su centro en el origen de coordenadas, tendríamos la siguiente gráfica:

El valor del punto de la cricunferencia con elevación de α grados sería: $(cos(\alpha); sen(\alpha))$

El seno al depender del eje "y", es positivo en los primeros cuadrantes y negativo en el tercer y cuarto cuadrante, el coseno al depender del eje "x" es positivo en el primer y cuarto cuadrante, y negativo en el segundo y tercer cuadrante. Se aprecia que el seno y coseno son negativos en el tercer cuadrante. Por ello, la tangente que es el cociente de ambos será positiva en el tercer cuadrante. Todas estas reglas de signo se aplican a sus razones recíprocas.

Identidades pitagóricas

De la CT se puede desprender que el coseno y seno del angulo forman los catetos de un triángulo rectángulo de hipotenusa igual a la unidad, si aplicamos el teorema de pitágoras a este triángulo tendríamos la siguiente afirmación:

$$sen^{2}(\alpha)+cos^{2}(\alpha)=1$$

De esta se desprende, aplicando las identidades recíprocas, las siguientes identidades:

$$csc^{2}(\alpha)-ctg^{2}(\alpha)=1$$ $$sec^{2}(\alpha)-tan^{2}(\alpha)=1$$


Si haces clic en la siguiente miniatura podrás observar una tabla de razones trigonométricas de ángulos notables:

PARÁBOLA

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA

$$(x-h)^2=\pm 4p(y-k)$$

La parábola es cóncava hacia arriba cuando el coeficiente es positivo, y hacia abajo cuando es negativo, en otras palabras tiende al infinito positivo al ser positivo y hacia el infinito negativo al ser negativa

$$(y-k)^2=\pm 4p(x-h)$$

La parábola es cóncava hacia el infinito negativo al ser negativa, primer gráfico, y hacia el infinito positivo al ser positivo, segundo gráfico.

• En ambos casos el vértice de la parábola coincide con el par ordenado: $(h; k)$
• Si "x" esta elevado al cuadrado, la gráfica es cóncava hacia arriba o abajo.
• Si "y" esta elevado al cuadrado, la gráfica es cóncava hacia la derecha o izquierda.
• El signo indica si se dirige al infinito positivo o negativo, dependiendo de la dirección de su concavidad.
• El valor "p", llamado parámetro, indica la distancia del vértice al foco y del vértice a la línea directriz.

REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTA

¿Qué es la regla de tres?

Es una operación que permite hallar el cuarto término de una proporción conociendo los otros tres.

Esta puede ser:

• Simple
• Directa
• Inversa
• Compuesta

REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA

Se aplica cuando las magnitudes que comparamos son directamente proporcionales entre sí, esto implica que si una magnitud aumenta, la otra hará lo mismo.

Ejemplo: galones de pintura para pintar una superficie, mientras más galones de pintura tenga, mayor será la superficie que puedo pintar

El método de resolución es multiplicar en aspa o cruzado e igualar.

Supongamos que queremos calcular cuantos euros son 100 soles, pero solo sabemos que 10 soles equivalen a 2,6 euros. Entonces aplicamos la regla de tres:

$$10x=100.2,60$$
$$x=\frac{100.2,60}{10}$$
$$x=26$$
Determinamos que 100 soles equivalen a 26 euros.

REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA

Se aplica cuando las magnitudes que comparamos son inversamente proporcionales entre sí, esto implica que si una magnitud aumenta, la otra hará se reducirá.

Ejemplo: el número de trabajadores y el tiempo que demora una obra, mientras mayor sea el número de trabajadores, menor será el tiempo para completarla.

El método de resolución es multiplicar en línea e igualar.

Supongamos que tenemos 10 empleados que pueden realizar un trabajo en 3 horas, pero se desea saber cuanto tiempo le tomará a 15 empleados realizar el mismo trabajo, aplicamos la regla de tres simple inversa:

$$10.3=15x$$
$$\frac{30}{15}=x$$
$$x=2$$
Determinamos que 15 empleados terminarán dicho trabajo en 2 horas.

REGLA DE TRES COMPUESTA

Cuando se comparan más de 3 magnitudes, se llama una regla de 3 compuesta, y puede ser directa, inversa o mixta.

próximamente...