POLINOMIOS ESPECIALES

Tenemos varios tipos de polinomios especiales entre ellos:

• Polinomio ordenado
• Polinomio completo
• Polinomio homogéneo
• Polinomio idénticamente nulo
• Polinomio mónico

Y cuando tenemos más de dos polinomios podemos decir si son:

• Idénticos
• Semejantes

Polinomio ordenado 

Se dice cuando los exponentes de una de sus variables estan en orden ascendente o descendente, y pueden ser ordenados respecto a una variable o todas sus variables dependiendo del caso.

Ejemplo 01:
Sea el polinomio $P(x)$:
$$P(x)=x^{5}-3x^{2}+2x-15$$
Podemos reescribirlo de la siguiente manera:
$$P(x)=x^{5}-3x^{2}+2x^{1}-15x^{0}$$
Se puede apreciar que los exponentes de la variable "x" están ordenados de forma descendente, y al ser la única variable que posee el polinomio se dice que: El polinomio $P(x)$ está ordenado de forma descendente.

Ejemplo 02:
Sea el polinomio $P(x;y)$:
$$P(x;y)=2x^{2}y-10x^{7}y^{3}+y^{4}x+9y^{8}$$
Podemos reescribirlo de la siguiente manera:
$$P(x;y)=2x^{2}y^{1}-10x^{7}y^{3}+y^{4}x+9y^{8}$$
Se puede apreciar que los exponentes de la variable "x" no están ordenados, pero los exponentes de la variable "y" están ordenados de forma ascendente se dice entonces que: El polinomio $P(x;y)$ está ordenado de forma ascendente respecto a "y".

Polinomio completo

Se dice cuando los exponentes de una de sus variables se presentan desde el grado 0 hasta el grado equivalente al número de términos menos uno, y pueden ser completos respecto a una variable o todas sus variables dependiendo del caso.

Ejemplo 01:
Sea el polinomio $P(x)$:
$$P(x)=x^{2}-3x^{3}+2x-15$$
Podemos reescribirlo de la siguiente manera:
$$P(x)=x^{2}-3x^{3}+2x^{1}-15x^{0}$$
Se puede apreciar que los exponentes de la variable "x" que aparecen son: 2; 3; 1 y 0, vemos que el número de términos es 4, y los exponentes presentes vienen desde el 0 hasta el 3. Además, al ser la única variable que posee el polinomio se dice que: El polinomio $P(x)$ es completo.

Ejemplo 02:
Sea el polinomio $P(x;y)$:
$$P(x;y)=2x^{2}y^{2}-10x^{7}y+y^{3}x+9$$
Podemos reescribirlo de la siguiente manera:
$$P(x;y)=2x^{2}y^{2}-10x^{7}y+y^{3}x+9y^{0}$$
Se puede apreciar que los exponentes de la variable "x" que aparecen son: 2; 7; 0 y 0, del lado de la variable "y" son: 2; 1; 3 y 0, vemos que el número de términos es 4, y los exponentes presentes vienen desde el 0 hasta el 3 solo en la variable "y", esto significa que: El polinomio $P(x;y)$ es completo respecto a "y".

Polinomio homogéneo

Se dice cuando los grados de todos los términos que componen al polinomio son iguales.

Ejemplo:
Sea el polinomio $P(x;y;z)$:
$$P(x)=x^{5}yz^{2}-3x^{2}y^{6}+2xz^{7}$$
Podemos apreciar los grados de los monomios que lo componen:

• $x^{5}y^{1}z^{2}: Grado = 8$
• $-3x^{2}y^{6}: Grado = 8$
• $2x^{1}z^{7}: Grado = 8$

Se puede apreciar que los grados de todos los términos es 8, se dice que: El polinomio $P(x)$ es homogéneo de grado 8 o tiene grado de homogeneidad 8.

Polinomio idénticamente nulo

Se da cuando todos los coeficientes de sus términos son iguales a cero.

Ejemplo:
Sea el polinomio $P(x)$:
$$P(x)=0x^{5}-0x^{2}+0x-0$$
Se dice que: El polinomio $P(x)$ es idénticamente nulo o $P(x) \equiv 0$.

Polinomio mónico

Se dice cuando el coeficiente del término de mayor grado es igual a 1.

Ejemplo 01:
Sea el polinomio $P(x)$:
$$P(x)=x^{5}-3x^{2}+2x-15$$

El coeficiente del término de mayor grado $(x^{5})$ es igual a 1. Por lo tanto, El polinomio $P(x)$ es mónico.

Polinomios idénticos

Cuando tenemos dos o más polinomios donde sus variables, su número de términos y lo términos son completamente iguales entre si, sin la necesidad de estar ordenados de la misma forma, se habla de polinomios idénticos

Ejemplo:
Sea el polinomio $P(x)$ y $Q(x)$:
$$P(x)=x^{5}-3x^{2}+2x-15$$
$$Q(x)=x^{5}-15+2x-3x^{2}$$
Si comparamos nos daremos cuenta que poseen la misma variable "x", ambos tienen 4 términos y al compararlos entre ellos notaremos que son iguales. En ese caso decimos que: El polinomio $P(x)$ es idéntico al polinomio $Q(x9)$ o $P(x) \equiv Q(x)$.

Polinomios semejantes

Cuando tenemos dos o más polinomios donde sus variables, su número de términos y lo términos son semejantes, es decir su parte variables es igual, pero no sus coeficientes. Sin la necesidad de estar ordenados de la misma forma, se habla de polinomios semejantes

Ejemplo:
Sea el polinomio $P(x)$ y $Q(x)$:
$$P(x)=x^{5}+3x^{2}-2x-1$$
$$Q(x)=2x^{5}+5+2x-3x^{2}$$
Si comparamos nos daremos cuenta que poseen la misma variable "x", ambos tienen 4 términos y al compararlos entre ellos notaremos que son semejantes, ya que su parte variable es igual, pero no sus coeficientes. En ese caso decimos que: El polinomio $P(x)$ es semejante al polinomio $Q(x9)$.