ÁLGEBRA DE MATRICES

Suma y resta de matrices

Para poder sumar o restar matrices estas deben cumplir la siguiente condición:

Las matrices deben ser del mismo orden.

Ejemplo: Sea $A$ y $B$, Calcular $A+B$ y $A-B$

$$A= \begin{bmatrix} 3& 4\\  4& 6\\  2& 1 \end{bmatrix}$$

$$B= \begin{bmatrix} 2& 5\\  -1& 0\\  5& 2 \end{bmatrix}$$

Calculamos la suma $A+B$:

$$A+B= \begin{bmatrix} 3+2& 4+5\\  4+-1& 6+0\\  2+5& 1+2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5& 9\\ 3& 6\\  7& 3 \end{bmatrix}$$

Calculamos la resta $A-B$:

$$A+B= \begin{bmatrix} 3-2& 4-5\\  4--1& 6-0\\  2-5& 1-2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1& -1\\ 5& 6\\  -3& -1 \end{bmatrix}$$

Producto de una matriz por un escalar o número real cualquiera

En este caso todos los elementos de la matriz se multiplican por el escalar.

Ejemplo: Multiplicar la matriz $C$ por 4

$$C= \begin{bmatrix} 2& 1& 4& 0\\  -4& -6& 3& 1 \end{bmatrix}$$

Calculamos el producto $4C$:

$$4C= \begin{bmatrix} 4\cdot 2& 4\cdot 1& 4\cdot 4& 4\cdot 0\\  4\cdot (-4)& 4\cdot (-6)& 4\cdot 3& 4\cdot 1 \end{bmatrix}$$

$$4C=  \begin{bmatrix} 8& 4& 16& 0\\  -16& -24& 12& 4 \end{bmatrix}$$

Producto de matrices

Para poder multiplicar matrices entre ellas se cumple la siguiente regla:

$$A_{m \times n} \cdot B_{n \times p} = R_{m \times p}$$

Es decir el número de columnas de la primera matriz debe coincidir con el número de filas de la segunda matriz, de forma que la matriz resultante tenga el mismo número de filas de la primera matriz y el mismo número de columnas de la segunda matriz.

Ejemplo: Multiplicar A y B si:

$$A_{2 \times 3}= \begin{bmatrix} -2& 4 & 0\\  1& 2 & 4\end{bmatrix}$$

$$B_{3 \times 2}= \begin{bmatrix} 1& 2\\  -1& 0\\  3& 1 \end{bmatrix}$$

La matriz resultante tendrá un orden de $2 \times 2$

$$R_{2 \times 2}= \begin{bmatrix} r_{1;1} & r_{1;2}\\ r_{2;1} & r_{2;2}\end{bmatrix}$$

Para hallar cada valor de sus elementos multiplicamos fila por columna:

$r_{1;1} = (-2) \cdot 1 + 4 \cdot (-1) + 0 \cdot 3=-6$

$r_{1;2} = (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 0 + 0 \cdot 1=-4$

$r_{2;1} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) + 4 \cdot 3=11$

$r_{2;2} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 4 \cdot 1=6$

$$R= \begin{bmatrix} -6 & -4\\ 11 & 6\end{bmatrix}$$