RECTAS EN R2 - ECUACIONES

Una recta en dos dimensiones o comúnmente llamada en R2 representa gráficamente una línea en el plano. Esta tiene un sinfín de aplicaciones en diversos campos de ingeniería, negocios y otros.

Desde el punto de vista geométrico se puede determinar una recta a partir de dos puntos en el plano, es por ello que sus ecuaciones se infieren a partir de dos puntos en un plano.

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Ecuación vectorial de la Recta en R2

Teniendo como base dos puntos: $P_{1}=(q;w)$ y $P_{2}=(d;f)$

Podemos definir su ecuación vectorial a partir de la siguiente expresión: $(x;y)=P_{0}+\alpha \cdot \vec{a}$

Donde:

• $P_{0}$ llamado punto de inicio o de paso puede ser cualquiera de los puntos $P_{1}$ o $P_{2}$
• $\alpha$ es el parámetro de la ecuación y no se reemplaza para obtener la ecuación
• $\vec{a}$ es el vector que se forma a partir de los puntos: $P_{1}$ y $P_{2}$

Hallamos entonces $\vec{a}$

$$\vec{a}=(d-q;f-w)$$

Reemplazamos $P_{0}$ por cualquiera de los puntos y obtenemos la ecuación vectorial:

$$(x;y)=P_{0}+\alpha \cdot \vec{a}$$

Ejemplo: Dados los puntos $(1;2)$ y $(3;8)$ determinar la ecuación vectorial de la recta que pasa por esos puntos.

Hallamos entonces $\vec{a}$

$$\vec{a}=(3-1;8-2)=(2;4)$$

Reemplazamos $P_{0}$ por cualquiera de los puntos y obtenemos la ecuación vectorial:

$$(x;y)=(1,2)+\alpha \cdot (2;4)$$

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Ecuación paramétrica de la Recta en R2

Usando la ecuación vectorial de la recta, la forma paramétrica se obtiene al separar la ecuación en dos, una que contiene a los valores relacionados con "x" y la otra con "y"

A partir de la siguiente expresión: (x;y)=(a;b)$+\alpha \cdot$(c;d)

Separamos los valores que coinciden con "x" y con "y" por separado:

$$\left\{\begin{matrix}x=a+\alpha \cdot c \\ y=b+\alpha \cdot d \end{matrix}\right.$$

Ejemplo: Dados los puntos $(1;2)$ y $(3;8)$ determinar la ecuación paramétrica de la recta que pasa por esos puntos.

Teniendo de base la ecuación vectorial: $(x;y)=(1,2)+\alpha \cdot (2;4)$, procedemos a crear la ecuación paramétrica:

$$\left\{\begin{matrix}x=1+\alpha \cdot 2 \\ y=2+\alpha \cdot 4 \end{matrix}\right.$$

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Ecuación simétrica de la Recta en R2

La ecuación simétrica se obtiene de despejar $\alpha$ e igualar las ecuaciones:

$$x=a+\alpha \cdot c$$ $$x-a=\alpha \cdot c$$

$$\frac{x-a}{c}=\alpha$$

$$y=b+\alpha \cdot d$$ $$y-b=\alpha \cdot d$$

$$\frac{y-b}{d}=\alpha$$

Finalmente, igualando obtenemos la ecuación simétrica.

$$\frac{x-a}{c}=\frac{y-b}{d}$$

Ejemplo: Dados los puntos $(1;2)$ y $(3;8)$ determinar la ecuación simétrica de la recta que pasa por esos puntos.

Teniendo de base la ecuación paramétrica: $\left\{\begin{matrix}x=1+\alpha \cdot 2 \\ y=2+\alpha \cdot 4 \end{matrix}\right.$, procedemos a crear la ecuación simétrica:

$$\frac{x-1}{2}=\alpha$$

$$\frac{y-2}{4}=\alpha$$

$$\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{4}$$

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Ecuación general de la Recta en R2

La ecuación general se obtiene al trasladar todos los términos de la ecuación simétrica hacia uno de los lados de la ecuación y puede posteriormente escribirse de diversas formas:

Ejemplo: Dados los puntos $(1;2)$ y $(3;8)$ determinar la ecuación general de la recta que pasa por esos puntos.

Teniendo de base la ecuación simétrica: $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{4}$, procedemos a crear la ecuación general:
$$4x-4=2y-4$$ $$4x=2y$$

$$2x=y$$