SISTEMAS DE ECUACIONES - REGLA DE CRAMER

Dado un sistema de ecuaciones donde el número de ecuaciones coincide con el número de variables como:

$$\left\{\begin{matrix}2x-y+z = 8\\
x+y-4z = -5\\
-x+2y+2z =-6 \end{matrix}\right.$$

Es posible resolver este sistema mediante la Regla de Cramer, para ello se crean tres matrices que representan: los coeficientes de las variables, las variables y los términos independientes.


Matriz de coeficientes: $A=\begin{bmatrix}2 & -1 & 1\\1&1&-4\\-1&2&2 \end{bmatrix}$

Matriz de variables: $X=\begin{bmatrix}x\\y\\z \end{bmatrix}$

Matriz de términos independientes: $B=\begin{bmatrix}8\\-5\\-6 \end{bmatrix}$


Para determinar si el sistema es compatible y determinado, el valor del determinante de $A$ debe ser diferente de 0, por ello debemos calcular su determinante.

$A=\begin{bmatrix}2 & -1 & 1\\1&1&-4\\-1&2&2 \end{bmatrix}$, su determinante: $det(A)=21$

Ahora debemos crear una nueva matriz por cada variable, esto se hace intercambiando la columna de términos independientes en la matriz A de forma que para "x" se reemplaza la primera columna, para "y" la segunda y para "z" la tercera.

x	y	z
$$\begin{bmatrix}8 & -1 & 1\\-5&1&-4\\-6&2&2 \end{bmatrix}$$ determinante = 42	$$\begin{bmatrix}2 & 8 & 1\\1&-5&-4\\-1&-6&2 \end{bmatrix}$$ determinante = -63	$$\begin{bmatrix}2 & -1 & 8\\1&1&-5\\-1&2&-6 \end{bmatrix}$$ determinante = 21
Finalmente dividimos cada determinante entre el determinante de la matriz A
$$x=\frac{42}{21}=2$$	$$y=\frac{-63}{21}=-3$$	$$z=\frac{21}{21}=1$$