SISTEMAS DE ECUACIONES - GAUSS JORDAN

Dado un sistema de ecuaciones donde el número de ecuaciones coincide con el número de variables como:

$$\left\{\begin{matrix}2x-y+z = 8\\
x+y-4z = -5\\
-x+2y+2z =-6 \end{matrix}\right.$$

Es posible resolver este sistema mediante el método de Gauss-Jordan, para ello se crea una matriz que contiene los coeficientes de las variables y los términos independientes.

$$\left|\begin{matrix}2 & -1 & 1\\1&1&-4\\-1&2&2\end{matrix} \begin{vmatrix}8\\-5\\-6 \end{vmatrix} \right.$$

El siguiente paso es aplicar el método de operaciones elementales entre las filas para obtener una matriz identidad al lado izquierdo.

Recordamos que debemos avanzar columna por columna, para este caso debemos volver la primera matriz una matriz identidad de 3x3.

La primera columna debe tener la forma: $\begin{bmatrix}1\\0\\0 \end{bmatrix}$

• Cambiamos la primera fila con la segunda

$$\left|\begin{matrix}1&1&-4\\2 & -1 & 1\\-1&2&2\end{matrix} \begin{vmatrix}-5\\8\\-6 \end{vmatrix} \right.$$

• A la segunda fila le restamos la primera multiplicada por 2

$$\left|\begin{matrix}1&1&-4\\0 & -3 & 9\\-1&2&2\end{matrix} \begin{vmatrix}-5\\18\\-6 \end{vmatrix} \right.$$

• A la tercera fila le sumamos la primera fila 

$$\left|\begin{matrix}1&1&-4\\0 & -3 & 9\\0&3&-2\end{matrix} \begin{vmatrix}-5\\18\\-11 \end{vmatrix} \right.$$

La segunda columna debe tener la forma: $\begin{bmatrix}0\\1\\0 \end{bmatrix}$

• Sumamos la segunda y la tercera fila 

$$\left|\begin{matrix}1&1&-4\\0 & -3 & 9\\0&0&7\end{matrix} \begin{vmatrix}-5\\18\\7 \end{vmatrix} \right.$$

• Dividimos la segunda fila entre -3

$$\left|\begin{matrix}1&1&-4\\0 & 1 & -3\\0&0&7\end{matrix} \begin{vmatrix}-5\\-6\\7 \end{vmatrix} \right.$$

• Restamos la primera fila con la segunda

$$A=\left|\begin{matrix}1&0&-1\\0 & 1 & -3\\0&0&7\end{matrix} \begin{vmatrix}1\\-6\\7 \end{vmatrix} \right.$$


La tercera columna debe tener la forma: $\begin{bmatrix}0\\0\\1 \end{bmatrix}$

• Se divide entre 7 a la tercera fila

$$\left|\begin{matrix}1&0&-1\\0 & 1 & -3\\0&0&1\end{matrix} \begin{vmatrix}1\\-6\\1 \end{vmatrix} \right.$$

• Le sumamos la tercera fila a la primera fila

$$\left|\begin{matrix}1&0&0\\0 & 1 & -3\\0&0&1\end{matrix} \begin{vmatrix}2\\-6\\1 \end{vmatrix} \right.$$

• A la segunda fila se le suma la tercera fila multiplicada por 3

$$\left|\begin{matrix}1&0&0\\0 & 1 & 0\\0&0&1\end{matrix} \begin{vmatrix}2\\-3\\1 \end{vmatrix} \right.$$

Finalmente, la matriz columna que acompaña a la matriz de coeficientes son los resultados de cada una de las variables:

$$\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2\\-3\\1 \end{bmatrix} $$

Obteniendo:

$$x=2$$$$y=-3$$$$z=1$$