RECTAS EN R2 - ECUACIONES

Una recta en dos dimensiones o comúnmente llamada en R2 representa gráficamente una línea en el plano. Esta tiene un sinfín de aplicaciones en diversos campos de ingeniería, negocios y otros.

Desde el punto de vista geométrico se puede determinar una recta a partir de dos puntos en el plano, es por ello que sus ecuaciones se infieren a partir de dos puntos en un plano.

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Ecuación vectorial de la Recta en R2

Teniendo como base dos puntos: $P_{1}=(q;w)$ y $P_{2}=(d;f)$

Podemos definir su ecuación vectorial a partir de la siguiente expresión: $(x;y)=P_{0}+\alpha \cdot \vec{a}$

Donde:

• $P_{0}$ llamado punto de inicio o de paso puede ser cualquiera de los puntos $P_{1}$ o $P_{2}$
• $\alpha$ es el parámetro de la ecuación y no se reemplaza para obtener la ecuación
• $\vec{a}$ es el vector que se forma a partir de los puntos: $P_{1}$ y $P_{2}$

Hallamos entonces $\vec{a}$

$$\vec{a}=(d-q;f-w)$$

Reemplazamos $P_{0}$ por cualquiera de los puntos y obtenemos la ecuación vectorial:

$$(x;y)=P_{0}+\alpha \cdot \vec{a}$$

Ejemplo: Dados los puntos $(1;2)$ y $(3;8)$ determinar la ecuación vectorial de la recta que pasa por esos puntos.

Hallamos entonces $\vec{a}$

$$\vec{a}=(3-1;8-2)=(2;4)$$

Reemplazamos $P_{0}$ por cualquiera de los puntos y obtenemos la ecuación vectorial:

$$(x;y)=(1,2)+\alpha \cdot (2;4)$$

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Ecuación paramétrica de la Recta en R2

Usando la ecuación vectorial de la recta, la forma paramétrica se obtiene al separar la ecuación en dos, una que contiene a los valores relacionados con "x" y la otra con "y"

A partir de la siguiente expresión: (x;y)=(a;b)$+\alpha \cdot $(c;d)

Separamos los valores que coinciden con "x" y con "y" por separado:

$$\left\{\begin{matrix}x=a+\alpha \cdot c \\ y=b+\alpha \cdot d \end{matrix}\right.$$

Ejemplo: Dados los puntos $(1;2)$ y $(3;8)$ determinar la ecuación paramétrica de la recta que pasa por esos puntos.

Teniendo de base la ecuación vectorial: $(x;y)=(1,2)+\alpha \cdot (2;4)$, procedemos a crear la ecuación paramétrica:

$$\left\{\begin{matrix}x=1+\alpha \cdot 2 \\ y=2+\alpha \cdot 4 \end{matrix}\right.$$

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Ecuación simétrica de la Recta en R2

La ecuación simétrica se obtiene de despejar $\alpha$ e igualar las ecuaciones:

$$x=a+\alpha \cdot c$$ $$x-a=\alpha \cdot c$$

$$\frac{x-a}{c}=\alpha$$

$$y=b+\alpha \cdot d$$ $$y-b=\alpha \cdot d$$

$$\frac{y-b}{d}=\alpha$$

Finalmente, igualando obtenemos la ecuación simétrica.

$$\frac{x-a}{c}=\frac{y-b}{d}$$

Ejemplo: Dados los puntos $(1;2)$ y $(3;8)$ determinar la ecuación simétrica de la recta que pasa por esos puntos.

Teniendo de base la ecuación paramétrica: $\left\{\begin{matrix}x=1+\alpha \cdot 2 \\ y=2+\alpha \cdot 4 \end{matrix}\right.$, procedemos a crear la ecuación simétrica:

$$\frac{x-1}{2}=\alpha$$

$$\frac{y-2}{4}=\alpha$$

$$\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{4}$$

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Ecuación general de la Recta en R2

La ecuación general se obtiene al trasladar todos los términos de la ecuación simétrica hacia uno de los lados de la ecuación y puede posteriormente escribirse de diversas formas:

Ejemplo: Dados los puntos $(1;2)$ y $(3;8)$ determinar la ecuación general de la recta que pasa por esos puntos.

Teniendo de base la ecuación simétrica: $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{4}$, procedemos a crear la ecuación general:
$$4x-4=2y-4$$ $$4x=2y$$

$$2x=y$$

SISTEMAS DE ECUACIONES - GAUSS JORDAN

Dado un sistema de ecuaciones donde el número de ecuaciones coincide con el número de variables como:

$$\left\{\begin{matrix}2x-y+z = 8\\
x+y-4z = -5\\
-x+2y+2z =-6 \end{matrix}\right.$$

Es posible resolver este sistema mediante el método de Gauss-Jordan, para ello se crea una matriz que contiene los coeficientes de las variables y los términos independientes.

$$\left|\begin{matrix}2 & -1 & 1\\1&1&-4\\-1&2&2\end{matrix} \begin{vmatrix}8\\-5\\-6 \end{vmatrix} \right.$$

El siguiente paso es aplicar el método de operaciones elementales entre las filas para obtener una matriz identidad al lado izquierdo.

Recordamos que debemos avanzar columna por columna, para este caso debemos volver la primera matriz una matriz identidad de 3x3.

La primera columna debe tener la forma: $\begin{bmatrix}1\\0\\0 \end{bmatrix}$

• Cambiamos la primera fila con la segunda

$$\left|\begin{matrix}1&1&-4\\2 & -1 & 1\\-1&2&2\end{matrix} \begin{vmatrix}-5\\8\\-6 \end{vmatrix} \right.$$

• A la segunda fila le restamos la primera multiplicada por 2

$$\left|\begin{matrix}1&1&-4\\0 & -3 & 9\\-1&2&2\end{matrix} \begin{vmatrix}-5\\18\\-6 \end{vmatrix} \right.$$

• A la tercera fila le sumamos la primera fila 

$$\left|\begin{matrix}1&1&-4\\0 & -3 & 9\\0&3&-2\end{matrix} \begin{vmatrix}-5\\18\\-11 \end{vmatrix} \right.$$

La segunda columna debe tener la forma: $\begin{bmatrix}0\\1\\0 \end{bmatrix}$

• Sumamos la segunda y la tercera fila 

$$\left|\begin{matrix}1&1&-4\\0 & -3 & 9\\0&0&7\end{matrix} \begin{vmatrix}-5\\18\\7 \end{vmatrix} \right.$$

• Dividimos la segunda fila entre -3

$$\left|\begin{matrix}1&1&-4\\0 & 1 & -3\\0&0&7\end{matrix} \begin{vmatrix}-5\\-6\\7 \end{vmatrix} \right.$$

• Restamos la primera fila con la segunda

$$A=\left|\begin{matrix}1&0&-1\\0 & 1 & -3\\0&0&7\end{matrix} \begin{vmatrix}1\\-6\\7 \end{vmatrix} \right.$$


La tercera columna debe tener la forma: $\begin{bmatrix}0\\0\\1 \end{bmatrix}$

• Se divide entre 7 a la tercera fila

$$\left|\begin{matrix}1&0&-1\\0 & 1 & -3\\0&0&1\end{matrix} \begin{vmatrix}1\\-6\\1 \end{vmatrix} \right.$$

• Le sumamos la tercera fila a la primera fila

$$\left|\begin{matrix}1&0&0\\0 & 1 & -3\\0&0&1\end{matrix} \begin{vmatrix}2\\-6\\1 \end{vmatrix} \right.$$

• A la segunda fila se le suma la tercera fila multiplicada por 3

$$\left|\begin{matrix}1&0&0\\0 & 1 & 0\\0&0&1\end{matrix} \begin{vmatrix}2\\-3\\1 \end{vmatrix} \right.$$

Finalmente, la matriz columna que acompaña a la matriz de coeficientes son los resultados de cada una de las variables:

$$\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2\\-3\\1 \end{bmatrix} $$

Obteniendo:

$$x=2$$$$y=-3$$$$z=1$$

SISTEMAS DE ECUACIONES - REGLA DE CRAMER

Dado un sistema de ecuaciones donde el número de ecuaciones coincide con el número de variables como:

$$\left\{\begin{matrix}2x-y+z = 8\\
x+y-4z = -5\\
-x+2y+2z =-6 \end{matrix}\right.$$

Es posible resolver este sistema mediante la Regla de Cramer, para ello se crean tres matrices que representan: los coeficientes de las variables, las variables y los términos independientes.


Matriz de coeficientes: $A=\begin{bmatrix}2 & -1 & 1\\1&1&-4\\-1&2&2 \end{bmatrix}$

Matriz de variables: $X=\begin{bmatrix}x\\y\\z \end{bmatrix}$

Matriz de términos independientes: $B=\begin{bmatrix}8\\-5\\-6 \end{bmatrix}$


Para determinar si el sistema es compatible y determinado, el valor del determinante de $A$ debe ser diferente de 0, por ello debemos calcular su determinante.

$A=\begin{bmatrix}2 & -1 & 1\\1&1&-4\\-1&2&2 \end{bmatrix}$, su determinante: $det(A)=21$

Ahora debemos crear una nueva matriz por cada variable, esto se hace intercambiando la columna de términos independientes en la matriz A de forma que para "x" se reemplaza la primera columna, para "y" la segunda y para "z" la tercera.

x	y	z
$$\begin{bmatrix}8 & -1 & 1\\-5&1&-4\\-6&2&2 \end{bmatrix}$$ determinante = 42	$$\begin{bmatrix}2 & 8 & 1\\1&-5&-4\\-1&-6&2 \end{bmatrix}$$ determinante = -63	$$\begin{bmatrix}2 & -1 & 8\\1&1&-5\\-1&2&-6 \end{bmatrix}$$ determinante = 21
Finalmente dividimos cada determinante entre el determinante de la matriz A
$$x=\frac{42}{21}=2$$	$$y=\frac{-63}{21}=-3$$	$$z=\frac{21}{21}=1$$

INVERSA DE UNA MATRIZ - GAUSS

Condiciones generales de una matriz invertible

Una matriz inversa cumple las siguientes condiciones, considerando una matriz A:

1. La matriz debe ser cuadrada
2. $det(A) \neq 0$
3. $A \cdot A^{-1}=I$

Método de gauss

Consideremos la siguiente matriz:

$$A= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3\\  2 & 0 & 5\\  3 & -1 & 4 \end{bmatrix}$$

Primer paso: Ampliamos la matriz con I

Tendremos:

$$A= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3\\  2 & 0 & 5\\  3 & -1 & 4 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\  0 & 1 & 0\\  0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$

Segundo paso: Convertir la primera columna

Debemos hacer que la primera columna tenga la forma: $\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}$

Siempre se comienza con el elemento pivote, es decir el elemento que se debe convertir en 1, para esta primera columna es el primer elemento, que ya se encuentra con el valor de 1. Por lo tanto, procederemos a convertir en cero los otros dos valores

• A la fila 2 le restamos la fila 1 multiplicada por 2 para que la segunda fila tenga como primer elemento al cero

$$A= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3\\  0 & 0 & -1\\  3 & -1 & 4 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\  -2 & 1 & 0\\  0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$

• A la fila 3 le restamos la fila 1 multiplicada por 3 para que la tercera fila tenga como primer elemento al cero

$$A= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3\\  0 & 0 & -1\\  0 & -1 & -5 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\  -2 & 1 & 0\\  -3 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$

Tercer paso: Convertir la segunda columna

Debemos hacer que la segunda columna tenga la forma: $\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}$

• Cambiamos la segunda fila por la tercera

$$A= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3\\  0 & -1 & -5\\  0 & 0 & -1 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\  -3 & 0 & 1\\  -2 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$

• Dividimos la segunda fila entre -1

$$A= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3\\  0 & 1 & 5\\  0 & 0 & -1 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\  3 & 0 & -1\\  -2 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$

Cuarto paso: Convertir la tercera columna

Debemos hacer que la tercera columna tenga la forma: $\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}$

• Dividimos la tercera fila entre -1

$$A= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3\\  0 & 1 & 5\\  0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\  3 & 0 & -1\\  2 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$

• A la fila 1 le restamos la fila 3 multiplicada por 3 para que su tercer elemento sea 0

$$A= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\  0 & 1 & 5\\  0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} -5 & 3 & 0\\  3 & 0 & -1\\  2 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$

• A la fila 2 le restamos la fila 3 multiplicada por 5 para que su tercer elemento sea 0

$$A= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\  0 & 1 & 0\\  0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} -5 & 3 & 0\\  -7 & 5 & -1\\  2 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$

Finalmente obtenemos la matriz inversa:

$$A^{-1}= \begin{bmatrix} -5 & 3 & 0\\  -7 & 5 & -1\\  2 & -1 & 0 \end{bmatrix}$$

INVERSA DE UNA MATRIZ - MÉTODO DE LA ADJUNTA

Condiciones generales de una matriz invertible

Una matriz inversa cumple las siguientes condiciones, considerando una matriz A:

1. La matriz debe ser cuadrada
2. $det(A) \neq 0$
3. $A \cdot A^{-1}=I$

Método de la adjunta

Consideremos la siguiente matriz:

$$A= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3\\  2 & 0 & 5\\  3 & -1 & 4 \end{bmatrix}$$

Hallamos su determinante mediante Sarrus o cofactores:
$$det(A) = -1$$

Primer paso: Matriz de menores

Consiste en crear una matriz de menor orden por cada elemento de la matriz, por ejemplo para el primer elemento, no utilizamos ni la primera fila ni la primera columna:

$$\begin{bmatrix} \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\  \blacksquare & 0 & 5\\  \blacksquare & -1 & 4 \end{bmatrix}$$	$$\begin{bmatrix} \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare\\  2 & \blacksquare & 5\\  3 & \blacksquare & 4 \end{bmatrix}$$	$$\begin{bmatrix} \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare\\  2 & 0 & \blacksquare\\  3 & -1 & \blacksquare \end{bmatrix}$$
$$\begin{bmatrix} \blacksquare & 0 & 3\\  \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare\\  \blacksquare & -1 & 4 \end{bmatrix}$$	$$\begin{bmatrix} 1 & \blacksquare & 3\\  \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare\\  3 & \blacksquare & 4 \end{bmatrix}$$	$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & \blacksquare\\  \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare\\  3 & -1 & \blacksquare \end{bmatrix}$$
$$\begin{bmatrix} \blacksquare & 0 & 3\\  \blacksquare & 0 & 5\\  \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \end{bmatrix}$$	$$\begin{bmatrix} 1 & \blacksquare & 3\\  2 & \blacksquare & 5\\  \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \end{bmatrix}$$	$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & \blacksquare\\  2 & 0 & \blacksquare\\  \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \end{bmatrix}$$

De esta forma nos queda la matriz de menores, a esas matrices resultantes se las reemplazará por su determinante:

$$\begin{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 5\\  -1 & 4 \end{bmatrix}
&\begin{bmatrix}  2  & 5\\  3  & 4 \end{bmatrix}
&\begin{bmatrix} 2 & 0 \\  3 & -1  \end{bmatrix}
\\ \begin{bmatrix}  0 & 3\\  -1 & 4 \end{bmatrix}
&\begin{bmatrix} 1  & 3\\ 3  & 4 \end{bmatrix}
&\begin{bmatrix} 1 & 0 \\  3 & -1  \end{bmatrix}
\\\begin{bmatrix}  0 & 3\\   0 & 5 \end{bmatrix}
&\begin{bmatrix} 1  & 3\\  2  & 5 \end{bmatrix}
& \begin{bmatrix} 1 & 0 \\  2 & 0  \end{bmatrix}  \end{bmatrix}=
 \begin{bmatrix} 5 & -7 & -2\\  3 & -5 & -1\\  0 & -1 & 0 \end{bmatrix}
$$

Segundo paso: Matriz de cofactores

La matriz de menores alterna sus signos con la siguiente tabla de signos de la siguiente forma:

$\begin{bmatrix} 5 & -7 & -2\\  3 & -5 & -1\\  0 & -1 & 0 \end{bmatrix}$ y $\begin{bmatrix} + & - & +\\  - & + & -\\  + & - & + \end{bmatrix}$ Obtenemos finalmente: $\begin{bmatrix} 5 & 7 & -2\\  -3 & -5 & 1\\  0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

Tercer paso: Matriz traspuesta

A la matriz de cofactores se le aplica la traspuesta, de forma que todas sus filas se convierten en columnas:

$$\begin{bmatrix} 5 & -3 & 0\\  7 & -5 & 1\\  -2 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$

Cuarto paso: Dividir cada elemento entre el determinante

Finalmente, cada elemento es dividido entre el determinante de la matriz original, que era "-1" y obtenemos la matriz inversa.

$$A^{-1}=\begin{bmatrix} -5 & 3 & 0\\  -7 & 5 & -1\\  2 & -1 & 0 \end{bmatrix}$$

ÁLGEBRA DE MATRICES

Suma y resta de matrices

Para poder sumar o restar matrices estas deben cumplir la siguiente condición:

Las matrices deben ser del mismo orden.

Ejemplo: Sea $A$ y $B$, Calcular $A+B$ y $A-B$

$$A= \begin{bmatrix} 3& 4\\  4& 6\\  2& 1 \end{bmatrix}$$

$$B= \begin{bmatrix} 2& 5\\  -1& 0\\  5& 2 \end{bmatrix}$$

Calculamos la suma $A+B$:

$$A+B= \begin{bmatrix} 3+2& 4+5\\  4+-1& 6+0\\  2+5& 1+2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5& 9\\ 3& 6\\  7& 3 \end{bmatrix}$$

Calculamos la resta $A-B$:

$$A+B= \begin{bmatrix} 3-2& 4-5\\  4--1& 6-0\\  2-5& 1-2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1& -1\\ 5& 6\\  -3& -1 \end{bmatrix}$$

Producto de una matriz por un escalar o número real cualquiera

En este caso todos los elementos de la matriz se multiplican por el escalar.

Ejemplo: Multiplicar la matriz $C$ por 4

$$C= \begin{bmatrix} 2& 1& 4& 0\\  -4& -6& 3& 1 \end{bmatrix}$$

Calculamos el producto $4C$:

$$4C= \begin{bmatrix} 4\cdot 2& 4\cdot 1& 4\cdot 4& 4\cdot 0\\  4\cdot (-4)& 4\cdot (-6)& 4\cdot 3& 4\cdot 1 \end{bmatrix}$$

$$4C=  \begin{bmatrix} 8& 4& 16& 0\\  -16& -24& 12& 4 \end{bmatrix}$$

Producto de matrices

Para poder multiplicar matrices entre ellas se cumple la siguiente regla:

$$A_{m \times n} \cdot B_{n \times p} = R_{m \times p}$$

Es decir el número de columnas de la primera matriz debe coincidir con el número de filas de la segunda matriz, de forma que la matriz resultante tenga el mismo número de filas de la primera matriz y el mismo número de columnas de la segunda matriz.

Ejemplo: Multiplicar A y B si:

$$A_{2 \times 3}= \begin{bmatrix} -2& 4 & 0\\  1& 2 & 4\end{bmatrix}$$

$$B_{3 \times 2}= \begin{bmatrix} 1& 2\\  -1& 0\\  3& 1 \end{bmatrix}$$

La matriz resultante tendrá un orden de $2 \times 2$

$$R_{2 \times 2}= \begin{bmatrix} r_{1;1} & r_{1;2}\\ r_{2;1} & r_{2;2}\end{bmatrix}$$

Para hallar cada valor de sus elementos multiplicamos fila por columna:

$r_{1;1} = (-2) \cdot 1 + 4 \cdot (-1) + 0 \cdot 3=-6$

$r_{1;2} = (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 0 + 0 \cdot 1=-4$

$r_{2;1} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) + 4 \cdot 3=11$

$r_{2;2} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 4 \cdot 1=6$

$$R= \begin{bmatrix} -6 & -4\\ 11 & 6\end{bmatrix}$$