Desde el punto de vista geométrico se puede determinar una recta a partir de dos puntos en el plano, es por ello que sus ecuaciones se infieren a partir de dos puntos en un plano.
Ecuación vectorial de la Recta en R2
Teniendo como base dos puntos: P1=(q;w) y P2=(d;f)
Podemos definir su ecuación vectorial a partir de la siguiente expresión: (x;y)=P0+α⋅→a
Donde:
- P0 llamado punto de inicio o de paso puede ser cualquiera de los puntos P1 o P2
- α es el parámetro de la ecuación y no se reemplaza para obtener la ecuación
- →a es el vector que se forma a partir de los puntos: P1 y P2
Hallamos entonces →a
→a=(d−q;f−w)
Reemplazamos P0 por cualquiera de los puntos y obtenemos la ecuación vectorial:
(x;y)=P0+α⋅→a
Ejemplo: Dados los puntos (1;2) y (3;8) determinar la ecuación vectorial de la recta que pasa por esos puntos.
Hallamos entonces →a
→a=(3−1;8−2)=(2;4)
Reemplazamos P0 por cualquiera de los puntos y obtenemos la ecuación vectorial:
(x;y)=(1,2)+α⋅(2;4)
Ecuación paramétrica de la Recta en R2
Usando la ecuación vectorial de la recta, la forma paramétrica se obtiene al separar la ecuación en dos, una que contiene a los valores relacionados con "x" y la otra con "y"
A partir de la siguiente expresión: (x;y)=(a;b)+α⋅(c;d)
Separamos los valores que coinciden con "x" y con "y" por separado:
{x=a+α⋅cy=b+α⋅d
Ejemplo: Dados los puntos (1;2) y (3;8) determinar la ecuación paramétrica de la recta que pasa por esos puntos.
Teniendo de base la ecuación vectorial: (x;y)=(1,2)+α⋅(2;4), procedemos a crear la ecuación paramétrica:
{x=1+α⋅2y=2+α⋅4
Ecuación simétrica de la Recta en R2
La ecuación simétrica se obtiene de despejar α e igualar las ecuaciones:
x=a+α⋅c x−a=α⋅c | x−ac=α |
y=b+α⋅d y−b=α⋅d | y−bd=α |
Finalmente, igualando obtenemos la ecuación simétrica.
x−ac=y−bd
Ejemplo: Dados los puntos (1;2) y (3;8) determinar la ecuación simétrica de la recta que pasa por esos puntos.
Teniendo de base la ecuación paramétrica: {x=1+α⋅2y=2+α⋅4, procedemos a crear la ecuación simétrica:
x−12=α | y−24=α |
x−12=y−24
Ecuación general de la Recta en R2
La ecuación general se obtiene al trasladar todos los términos de la ecuación simétrica hacia uno de los lados de la ecuación y puede posteriormente escribirse de diversas formas:
Ejemplo: Dados los puntos (1;2) y (3;8) determinar la ecuación general de la recta que pasa por esos puntos.
Teniendo de base la ecuación simétrica: x−12=y−24, procedemos a crear la ecuación general:
4x−4=2y−4 4x=2y
2x=y