INECUACIONES DE PRIMER GRADO

Una inecuación, es similar a una ecuación en cuanto al modo de resolución para despejar la variable, pero en lugar de comparar por giualdad compara mediante signos como:

• menor
• mayor
• menor e igual
• mayor e igual

Esto trae como consecuencia que el conjunto solución no sea un número unico sino un rango de ellos.

Para ello debemos introducirnos en los intervalos

¿Qué es un intervalo?

Es una porción de la recata real. Si tenemos  a la recta real:


Un intervalo podría ser el siguiente:


Estos intervalos gráficos se pueden representar mediante simbología matemática, para ello veamos los tipos de intervalos:

Intervalos cerrados
$$[a;b]=\{ x \in \mathbb{R} / a \leq x \leq b\}$$
Intervalos abiertos
$$<a;b>=\{ x \in \mathbb{R} / a < x < b\}$$
Intervalos semiabierto
$$[a;b>=\{ x \in \mathbb{R} / a \leq x < b\}$$
$$<a;b]=\{ x \in \mathbb{R} / a < x \leq b\}$$
Intervalos infinitos
$$[a;+\infty>=\{ x \in \mathbb{R} / a \leq x \}$$
$$<a;+\infty>=\{ x \in \mathbb{R} / a < x \}$$
$$<-\infty;b]=\{ x \in \mathbb{R} / x \leq b\}$$
$$<-\infty;b>=\{ x \in \mathbb{R} / x < b\}$$

Inecuaciones lineales

Las inecuaciones lineales o de primer grado tienen como respuesta un conjunto solución que se expresa en intervalos, al igual que las ecuaciones, tienen sistemas compatibles determinados, indeterminados e incompatbiles.

Para el caso de los sistemas compatibles deteminados, supongamos estos cuatro ejemplos:

Ejemplo 01: Hallar el CS. de "x" en:

$3x+5<20$

Solución:

$$3x<20-5$$ $3x<15$ $$x<\frac{15}{3}$$ $x<5$

Graficamente:

Entonces, el CS sería:

$$CS: x \in <-\infty ; 5>$$


Ejemplo 02: Hallar el CS. de "x" en:

$3x+5>20$

Solución:

$$3x>20-5$$ $3x>15$ $$x>\frac{15}{3}$$ $x>5$

Graficamente:

Entonces, el CS sería:

$$CS: x \in <5; +\infty>$$


Ejemplo 03: Hallar el CS. de "x" en:

$3x+5<20$

Solución:

$$3x\geq20-5$$ $3x\geq15$ $$x\geq\frac{15}{3}$$ $x\geq5$

Graficamente:

Entonces, el CS sería:

$$CS: x \in [5; +\infty>$$


Ejemplo 04: Hallar el CS. de "x" en:

$3x+5\leq20$

Solución:

$$3x\leq20-5$$ $3x\leq15$ $$x\leq\frac{15}{3}$$ $x\leq5$

Graficamente:

Entonces, el CS sería:

$$CS: x \in <-\infty ; 5]$$