Tenemos varios tipos de polinomios especiales entre ellos:
Y cuando tenemos más de dos polinomios podemos decir si son:
Polinomio ordenado
Se dice cuando los exponentes de una de sus variables estan en orden ascendente o descendente, y pueden ser ordenados respecto a una variable o todas sus variables dependiendo del caso.
Ejemplo 01:
Sea el polinomio
P(x):
P(x)=x5−3x2+2x−15
Podemos reescribirlo de la siguiente manera:
P(x)=x5−3x2+2x1−15x0
Se puede apreciar que los exponentes de la variable "x" están ordenados de forma descendente, y al ser la única variable que posee el polinomio se dice que:
El polinomio P(x) está ordenado de forma descendente.
Ejemplo 02:
Sea el polinomio
P(x;y):
P(x;y)=2x2y−10x7y3+y4x+9y8
Podemos reescribirlo de la siguiente manera:
P(x;y)=2x2y1−10x7y3+y4x+9y8
Se
puede apreciar que los exponentes de la variable "x" no están ordenados, pero los exponentes de la variable "y" están ordenados de forma ascendente se
dice entonces que:
El polinomio P(x;y) está ordenado de forma ascendente respecto a "y".
Polinomio completo
Se dice cuando los exponentes de una de sus variables se presentan desde el grado 0 hasta el grado equivalente al número de términos menos uno, y pueden ser completos respecto a una variable
o todas sus variables dependiendo del caso.
Ejemplo 01:
Sea el polinomio
P(x):
P(x)=x2−3x3+2x−15
Podemos reescribirlo de la siguiente manera:
P(x)=x2−3x3+2x1−15x0
Se
puede apreciar que los exponentes de la variable "x" que aparecen son: 2; 3; 1 y 0, vemos que el número de términos es 4, y los exponentes presentes vienen desde el 0 hasta el 3. Además, al ser la única variable que posee el polinomio se
dice que:
El polinomio P(x) es completo.
Ejemplo 02:
Sea el polinomio
P(x;y):
P(x;y)=2x2y2−10x7y+y3x+9
Podemos reescribirlo de la siguiente manera:
P(x;y)=2x2y2−10x7y+y3x+9y0
Se
puede apreciar que los exponentes de la variable "x" que aparecen son:
2; 7; 0 y 0, del lado de la variable "y" son: 2; 1; 3 y 0, vemos que el número de términos es 4, y los exponentes
presentes vienen desde el 0 hasta el 3 solo en la variable "y", esto significa que:
El polinomio P(x;y) es completo respecto a "y".
Polinomio homogéneo
Se dice cuando los grados de todos los términos que componen al polinomio son iguales.
Ejemplo:
Sea el polinomio
P(x;y;z):
P(x)=x5yz2−3x2y6+2xz7
Podemos apreciar los grados de los monomios que lo componen:
- x5y1z2:Grado=8
- −3x2y6:Grado=8
- 2x1z7:Grado=8
Se
puede apreciar que los grados de todos los términos es 8, se
dice que:
El polinomio P(x) es homogéneo de grado 8 o tiene grado de homogeneidad 8.
Polinomio idénticamente nulo
Se da cuando todos los coeficientes de sus términos son iguales a cero.
Ejemplo:
Sea el polinomio
P(x):
P(x)=0x5−0x2+0x−0
Se
dice que:
El polinomio P(x) es idénticamente nulo o P(x)≡0.
Polinomio mónico
Se dice cuando el coeficiente del término de mayor grado es igual a 1.
Ejemplo 01:
Sea el polinomio
P(x):
P(x)=x5−3x2+2x−15
El coeficiente del término de mayor grado
(x5) es igual a 1. Por lo tanto,
El polinomio P(x) es mónico.
Polinomios idénticos
Cuando tenemos dos o más polinomios donde sus variables, su número de términos y lo términos son completamente iguales entre si, sin la necesidad de estar ordenados de la misma forma, se habla de polinomios idénticos
Ejemplo:
Sea el polinomio
P(x) y
Q(x):
P(x)=x5−3x2+2x−15
Q(x)=x5−15+2x−3x2
Si comparamos nos daremos cuenta que poseen la misma variable "x", ambos tienen 4 términos y al compararlos entre ellos notaremos que son iguales. En ese caso decimos que:
El polinomio P(x) es idéntico al polinomio Q(x9) o $P(x) \equiv Qx$.
Polinomios semejantes
Cuando tenemos dos o más polinomios donde sus variables, su número de
términos y lo términos son semejantes, es decir su parte variables es igual, pero no sus coeficientes. Sin la
necesidad de estar ordenados de la misma forma, se habla de polinomios semejantes
Ejemplo:
Sea el polinomio
P(x) y
Q(x):
P(x)=x5+3x2−2x−1
Q(x)=2x5+5+2x−3x2
Si
comparamos nos daremos cuenta que poseen la misma variable "x", ambos
tienen 4 términos y al compararlos entre ellos notaremos que son semejantes, ya que su parte variable es igual, pero no sus coeficientes. En ese caso decimos que:
El polinomio P(x) es semejante al polinomio Q(x9).