FIGURAS PLANAS

En las figuras planas se puede calcular el perímetro que es la medida del contorno de una figura y el área que es la medida de la superficie que esta figura ocupa.

Llamaremos al perímetro de la siguiente forma: $2p$
Y al área: $A$
Podemos dividir a las principales figuras planas según el número de lados, de esa forma tenemos:

Cuadriláteros

Rectángulo Donde: "a": es la medida de la altura "b": es la medida de la base Podemos decir: $$2p=2a+2b$$ $$A=a \cdot  b$$	Cuadrado Donde: "a": es la medida de uno de los lados Podemos decir: $$2p=4a$$ $$A=a^{2}$$
Paralelogramo Donde: "d": es la medida de la diagonal menor "D": es la medida de la diagonal mayor Podemos decir:$$A=\frac{d\cdot D}{2}$$	Rombo Donde: "a": es la medida de la altura "b": es la medida de la base Podemos decir: $$A=ab$$
Trapecio Donde: "a": es la medida de la altura "M": es la medida de la base mayor "m": es la medida de la base menor Podemos decir: $$A=a \cdot \left ( \frac{M+m}{2} \right )$$

Triángulos

Tenemos tres tipos de triángulos según la medida de los ángulos internos:

• El acutángulo donde todas las medidas de sus ángulos son menores a 90°
• El rectángulo donde la medida de uno de sus lados es 90°
• El obtusángulo donde la medida de uno de sus lados supera los 90°

Donde:

• "a": es la medida de la altura
• "b": es la medida de la base

Podemos decir:
$$A=\frac{a \cdot  b}{2}$$

Figuras regulares de más de 4 lados

Para calcular su perímetro simplemente se multiplica la medida de su lado por la cantidad de lados, pero para el cálculo de su área se necesita conocer la medida de su apotema que es una altura trazada desde el centro de la figura hacia alguno de sus lados.

Donde:

• "a": es la medida de uno de sus lados
• "ap": es la medida de la apotema
• "n": es el número de lados de la figura

Podemos decir:
$$2p=n \cdot a$$

$$A=\frac{2p \cdot  ap}{2}$$

Circunferencia y círculo

Donde:

• "R": es la medida del radio

Podemos decir:
$$2p=2\pi \cdot R$$

$$A=\pi \cdot  R^{2}$$

TABLA DE DERIVADAS

Derivadas directas

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Función	Derivada	Ejemplo
$$y=k$$	$$y'=0$$	$$y=5$$ $$y'=0$$
$$y=kx$$	$$y'=k$$	$$y=-10x$$ $$y'=-10$$
$$y=x^{k}$$	$$y'=kx^{k-1}$$	$$y=x^{5}$$ $$y'=5x^{4}$$
$$y=ax^{k}$$	$$y'=(a\cdot k)x^{k-1}$$	$$y=-2x^{3}$$ $$y'=-6x^{2}$$
$$y=ln(U(x))$$	$$y'=\frac{U'(x)}{U(x)}$$	$$y=ln(4x^{2})$$ $$y'=\frac{8x}{4x^{2}}=\frac{2}{x}$$
$$y=log_{a}U(x)$$	$$y'=\frac{U'(x)}{U(x)} \cdot log_{a}e$$	$$y=log_{5}3x^{3}$$ $$y'=\frac{9x^{2}}{3x^{3}} \cdot log_{5}e=\frac{3 \cdot log_{5}e}{x}$$
$$y=e^{U(x)}$$	$$y'=e^{U(x)} \cdot U'(x)$$	$$y=e^{(4x^{5})}$$ $$y'=e^{(4x^{5})} \cdot (20x^{4})$$
$$y=a^{U(x)}$$	$$y'=a^{U(x)} \cdot U'(x) \cdot Ln(a)$$	$$y=7^{(4x^{5})}$$ $$y'=7^{(4x^{5})} \cdot (20x^{4})\cdot Ln(7)$$

Derivadas de funciones compuestas

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Suma y resta de funciones

En este caso cada termino de la funcion compuesta se deriva por separado aplicando las derivadas directas

Ejemplo: $$y=2x^{34}-\sqrt[3]{2x^2}+e^{2x}$$ La derivada de esta función se puede calcular hallando la derivada de cada uno de sus términos por separado: $$\frac{dy}{dx}=\frac{d(2x^{34})}{dx}-\frac{d((2x^2)^{\frac{1}{3}})}{dx}+\frac{d(e^{2x})}{dx}$$ $$y'= 68x^{33}-(2x^2)^{\frac{-2}{3}} \cdot 4x + e^{2x} \cdot 2 $$ $$y'=68x^{33}- \frac{4x}{\sqrt[3]{4x^4}}+ 2 \cdot e^{2x}$$

Producto de funciones

Función	Derivada
$$f(x) = U(x) \cdot V(x)$$	$$\frac{d(f(x))}{dx} = U'(x) \cdot V(x) + U(x) \cdot V'(x)$$

Ejemplo:
$$y=(2x+11)(e^{3x})$$ Su derivada: $$y'=\frac{d(2x+11)}{dx} \cdot (e^{3x})+\frac{d(e^{3x})}{dx} \cdot (2x+11)$$ $$y'=2 \cdot e^{3x}+ 3e^{3x} \cdot (2x+11)$$

Cociente de funciones

Función	Derivada
$$f(x) = \frac{U(x)}{V(x)}$$	$$\frac{d(f(x))}{dx} = \frac{U'(x) \cdot V(x) - U(x) \cdot V'(x)}{(V(x))^{2}}$$

Ejemplo:
$$y=\frac{2x+11}{e^{3x}}$$ Su derivada: $$y'=\frac{\frac{d(2x+11)}{dx} \cdot (e^{3x})-\frac{d(e^{3x})}{dx} \cdot (2x+11)}{(e^{3x})^2}$$ $$y'=\frac{2 \cdot e^{3x}- 3e^{3x} \cdot (2x+11)}{e^{6x}}$$

ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO - EJERCICIOS RESUELTOS

En este video se resuelven tres ejercicios aplicando valores absolutos, el último usa el método de áreas, regiones o zonas.

CALCULADORA DECIMALES A FRACCIONES

Decimal exacto

Cantidad:


Resultado:

---

Decimal periódico puro

Cantidad: ingrese la parte periódica pura

0.

Resultado:

---

Decimal mixto

Cantidad: ingrese la parte entera, luego la parte exacta y luego la parte periódica pura

.

Resultado:

---

Nota: para decimales usar punto en lugar de coma.
Nota: las fracciones resultantes no están simplificadas.

RECTAS EN R2 - ECUACIONES

Una recta en dos dimensiones o comúnmente llamada en R2 representa gráficamente una línea en el plano. Esta tiene un sinfín de aplicaciones en diversos campos de ingeniería, negocios y otros.

Desde el punto de vista geométrico se puede determinar una recta a partir de dos puntos en el plano, es por ello que sus ecuaciones se infieren a partir de dos puntos en un plano.

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Ecuación vectorial de la Recta en R2

Teniendo como base dos puntos: $P_{1}=(q;w)$ y $P_{2}=(d;f)$

Podemos definir su ecuación vectorial a partir de la siguiente expresión: $(x;y)=P_{0}+\alpha \cdot \vec{a}$

Donde:

• $P_{0}$ llamado punto de inicio o de paso puede ser cualquiera de los puntos $P_{1}$ o $P_{2}$
• $\alpha$ es el parámetro de la ecuación y no se reemplaza para obtener la ecuación
• $\vec{a}$ es el vector que se forma a partir de los puntos: $P_{1}$ y $P_{2}$

Hallamos entonces $\vec{a}$

$$\vec{a}=(d-q;f-w)$$

Reemplazamos $P_{0}$ por cualquiera de los puntos y obtenemos la ecuación vectorial:

$$(x;y)=P_{0}+\alpha \cdot \vec{a}$$

Ejemplo: Dados los puntos $(1;2)$ y $(3;8)$ determinar la ecuación vectorial de la recta que pasa por esos puntos.

Hallamos entonces $\vec{a}$

$$\vec{a}=(3-1;8-2)=(2;4)$$

Reemplazamos $P_{0}$ por cualquiera de los puntos y obtenemos la ecuación vectorial:

$$(x;y)=(1,2)+\alpha \cdot (2;4)$$

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Ecuación paramétrica de la Recta en R2

Usando la ecuación vectorial de la recta, la forma paramétrica se obtiene al separar la ecuación en dos, una que contiene a los valores relacionados con "x" y la otra con "y"

A partir de la siguiente expresión: (x;y)=(a;b)$+\alpha \cdot $(c;d)

Separamos los valores que coinciden con "x" y con "y" por separado:

$$\left\{\begin{matrix}x=a+\alpha \cdot c \\ y=b+\alpha \cdot d \end{matrix}\right.$$

Ejemplo: Dados los puntos $(1;2)$ y $(3;8)$ determinar la ecuación paramétrica de la recta que pasa por esos puntos.

Teniendo de base la ecuación vectorial: $(x;y)=(1,2)+\alpha \cdot (2;4)$, procedemos a crear la ecuación paramétrica:

$$\left\{\begin{matrix}x=1+\alpha \cdot 2 \\ y=2+\alpha \cdot 4 \end{matrix}\right.$$

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Ecuación simétrica de la Recta en R2

La ecuación simétrica se obtiene de despejar $\alpha$ e igualar las ecuaciones:

$$x=a+\alpha \cdot c$$ $$x-a=\alpha \cdot c$$

$$\frac{x-a}{c}=\alpha$$

$$y=b+\alpha \cdot d$$ $$y-b=\alpha \cdot d$$

$$\frac{y-b}{d}=\alpha$$

Finalmente, igualando obtenemos la ecuación simétrica.

$$\frac{x-a}{c}=\frac{y-b}{d}$$

Ejemplo: Dados los puntos $(1;2)$ y $(3;8)$ determinar la ecuación simétrica de la recta que pasa por esos puntos.

Teniendo de base la ecuación paramétrica: $\left\{\begin{matrix}x=1+\alpha \cdot 2 \\ y=2+\alpha \cdot 4 \end{matrix}\right.$, procedemos a crear la ecuación simétrica:

$$\frac{x-1}{2}=\alpha$$

$$\frac{y-2}{4}=\alpha$$

$$\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{4}$$

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Ecuación general de la Recta en R2

La ecuación general se obtiene al trasladar todos los términos de la ecuación simétrica hacia uno de los lados de la ecuación y puede posteriormente escribirse de diversas formas:

Ejemplo: Dados los puntos $(1;2)$ y $(3;8)$ determinar la ecuación general de la recta que pasa por esos puntos.

Teniendo de base la ecuación simétrica: $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{4}$, procedemos a crear la ecuación general:
$$4x-4=2y-4$$ $$4x=2y$$

$$2x=y$$

SISTEMAS DE ECUACIONES - GAUSS JORDAN

Dado un sistema de ecuaciones donde el número de ecuaciones coincide con el número de variables como:

$$\left\{\begin{matrix}2x-y+z = 8\\
x+y-4z = -5\\
-x+2y+2z =-6 \end{matrix}\right.$$

Es posible resolver este sistema mediante el método de Gauss-Jordan, para ello se crea una matriz que contiene los coeficientes de las variables y los términos independientes.

$$\left|\begin{matrix}2 & -1 & 1\\1&1&-4\\-1&2&2\end{matrix} \begin{vmatrix}8\\-5\\-6 \end{vmatrix} \right.$$

El siguiente paso es aplicar el método de operaciones elementales entre las filas para obtener una matriz identidad al lado izquierdo.

Recordamos que debemos avanzar columna por columna, para este caso debemos volver la primera matriz una matriz identidad de 3x3.

La primera columna debe tener la forma: $\begin{bmatrix}1\\0\\0 \end{bmatrix}$

• Cambiamos la primera fila con la segunda

$$\left|\begin{matrix}1&1&-4\\2 & -1 & 1\\-1&2&2\end{matrix} \begin{vmatrix}-5\\8\\-6 \end{vmatrix} \right.$$

• A la segunda fila le restamos la primera multiplicada por 2

$$\left|\begin{matrix}1&1&-4\\0 & -3 & 9\\-1&2&2\end{matrix} \begin{vmatrix}-5\\18\\-6 \end{vmatrix} \right.$$

• A la tercera fila le sumamos la primera fila 

$$\left|\begin{matrix}1&1&-4\\0 & -3 & 9\\0&3&-2\end{matrix} \begin{vmatrix}-5\\18\\-11 \end{vmatrix} \right.$$

La segunda columna debe tener la forma: $\begin{bmatrix}0\\1\\0 \end{bmatrix}$

• Sumamos la segunda y la tercera fila 

$$\left|\begin{matrix}1&1&-4\\0 & -3 & 9\\0&0&7\end{matrix} \begin{vmatrix}-5\\18\\7 \end{vmatrix} \right.$$

• Dividimos la segunda fila entre -3

$$\left|\begin{matrix}1&1&-4\\0 & 1 & -3\\0&0&7\end{matrix} \begin{vmatrix}-5\\-6\\7 \end{vmatrix} \right.$$

• Restamos la primera fila con la segunda

$$A=\left|\begin{matrix}1&0&-1\\0 & 1 & -3\\0&0&7\end{matrix} \begin{vmatrix}1\\-6\\7 \end{vmatrix} \right.$$


La tercera columna debe tener la forma: $\begin{bmatrix}0\\0\\1 \end{bmatrix}$

• Se divide entre 7 a la tercera fila

$$\left|\begin{matrix}1&0&-1\\0 & 1 & -3\\0&0&1\end{matrix} \begin{vmatrix}1\\-6\\1 \end{vmatrix} \right.$$

• Le sumamos la tercera fila a la primera fila

$$\left|\begin{matrix}1&0&0\\0 & 1 & -3\\0&0&1\end{matrix} \begin{vmatrix}2\\-6\\1 \end{vmatrix} \right.$$

• A la segunda fila se le suma la tercera fila multiplicada por 3

$$\left|\begin{matrix}1&0&0\\0 & 1 & 0\\0&0&1\end{matrix} \begin{vmatrix}2\\-3\\1 \end{vmatrix} \right.$$

Finalmente, la matriz columna que acompaña a la matriz de coeficientes son los resultados de cada una de las variables:

$$\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2\\-3\\1 \end{bmatrix} $$

Obteniendo:

$$x=2$$$$y=-3$$$$z=1$$

SISTEMAS DE ECUACIONES - REGLA DE CRAMER

Dado un sistema de ecuaciones donde el número de ecuaciones coincide con el número de variables como:

$$\left\{\begin{matrix}2x-y+z = 8\\
x+y-4z = -5\\
-x+2y+2z =-6 \end{matrix}\right.$$

Es posible resolver este sistema mediante la Regla de Cramer, para ello se crean tres matrices que representan: los coeficientes de las variables, las variables y los términos independientes.


Matriz de coeficientes: $A=\begin{bmatrix}2 & -1 & 1\\1&1&-4\\-1&2&2 \end{bmatrix}$

Matriz de variables: $X=\begin{bmatrix}x\\y\\z \end{bmatrix}$

Matriz de términos independientes: $B=\begin{bmatrix}8\\-5\\-6 \end{bmatrix}$


Para determinar si el sistema es compatible y determinado, el valor del determinante de $A$ debe ser diferente de 0, por ello debemos calcular su determinante.

$A=\begin{bmatrix}2 & -1 & 1\\1&1&-4\\-1&2&2 \end{bmatrix}$, su determinante: $det(A)=21$

Ahora debemos crear una nueva matriz por cada variable, esto se hace intercambiando la columna de términos independientes en la matriz A de forma que para "x" se reemplaza la primera columna, para "y" la segunda y para "z" la tercera.

x	y	z
$$\begin{bmatrix}8 & -1 & 1\\-5&1&-4\\-6&2&2 \end{bmatrix}$$ determinante = 42	$$\begin{bmatrix}2 & 8 & 1\\1&-5&-4\\-1&-6&2 \end{bmatrix}$$ determinante = -63	$$\begin{bmatrix}2 & -1 & 8\\1&1&-5\\-1&2&-6 \end{bmatrix}$$ determinante = 21
Finalmente dividimos cada determinante entre el determinante de la matriz A
$$x=\frac{42}{21}=2$$	$$y=\frac{-63}{21}=-3$$	$$z=\frac{21}{21}=1$$

INVERSA DE UNA MATRIZ - GAUSS

Condiciones generales de una matriz invertible

Una matriz inversa cumple las siguientes condiciones, considerando una matriz A:

1. La matriz debe ser cuadrada
2. $det(A) \neq 0$
3. $A \cdot A^{-1}=I$

Método de gauss

Consideremos la siguiente matriz:

$$A= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3\\  2 & 0 & 5\\  3 & -1 & 4 \end{bmatrix}$$

Primer paso: Ampliamos la matriz con I

Tendremos:

$$A= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3\\  2 & 0 & 5\\  3 & -1 & 4 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\  0 & 1 & 0\\  0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$

Segundo paso: Convertir la primera columna

Debemos hacer que la primera columna tenga la forma: $\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}$

Siempre se comienza con el elemento pivote, es decir el elemento que se debe convertir en 1, para esta primera columna es el primer elemento, que ya se encuentra con el valor de 1. Por lo tanto, procederemos a convertir en cero los otros dos valores

• A la fila 2 le restamos la fila 1 multiplicada por 2 para que la segunda fila tenga como primer elemento al cero

$$A= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3\\  0 & 0 & -1\\  3 & -1 & 4 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\  -2 & 1 & 0\\  0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$

• A la fila 3 le restamos la fila 1 multiplicada por 3 para que la tercera fila tenga como primer elemento al cero

$$A= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3\\  0 & 0 & -1\\  0 & -1 & -5 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\  -2 & 1 & 0\\  -3 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$

Tercer paso: Convertir la segunda columna

Debemos hacer que la segunda columna tenga la forma: $\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}$

• Cambiamos la segunda fila por la tercera

$$A= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3\\  0 & -1 & -5\\  0 & 0 & -1 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\  -3 & 0 & 1\\  -2 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$

• Dividimos la segunda fila entre -1

$$A= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3\\  0 & 1 & 5\\  0 & 0 & -1 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\  3 & 0 & -1\\  -2 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$

Cuarto paso: Convertir la tercera columna

Debemos hacer que la tercera columna tenga la forma: $\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}$

• Dividimos la tercera fila entre -1

$$A= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3\\  0 & 1 & 5\\  0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\  3 & 0 & -1\\  2 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$

• A la fila 1 le restamos la fila 3 multiplicada por 3 para que su tercer elemento sea 0

$$A= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\  0 & 1 & 5\\  0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} -5 & 3 & 0\\  3 & 0 & -1\\  2 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$

• A la fila 2 le restamos la fila 3 multiplicada por 5 para que su tercer elemento sea 0

$$A= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\  0 & 1 & 0\\  0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} -5 & 3 & 0\\  -7 & 5 & -1\\  2 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$

Finalmente obtenemos la matriz inversa:

$$A^{-1}= \begin{bmatrix} -5 & 3 & 0\\  -7 & 5 & -1\\  2 & -1 & 0 \end{bmatrix}$$

INVERSA DE UNA MATRIZ - MÉTODO DE LA ADJUNTA

Condiciones generales de una matriz invertible

Una matriz inversa cumple las siguientes condiciones, considerando una matriz A:

1. La matriz debe ser cuadrada
2. $det(A) \neq 0$
3. $A \cdot A^{-1}=I$

Método de la adjunta

Consideremos la siguiente matriz:

$$A= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3\\  2 & 0 & 5\\  3 & -1 & 4 \end{bmatrix}$$

Hallamos su determinante mediante Sarrus o cofactores:
$$det(A) = -1$$

Primer paso: Matriz de menores

Consiste en crear una matriz de menor orden por cada elemento de la matriz, por ejemplo para el primer elemento, no utilizamos ni la primera fila ni la primera columna:

$$\begin{bmatrix} \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\  \blacksquare & 0 & 5\\  \blacksquare & -1 & 4 \end{bmatrix}$$	$$\begin{bmatrix} \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare\\  2 & \blacksquare & 5\\  3 & \blacksquare & 4 \end{bmatrix}$$	$$\begin{bmatrix} \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare\\  2 & 0 & \blacksquare\\  3 & -1 & \blacksquare \end{bmatrix}$$
$$\begin{bmatrix} \blacksquare & 0 & 3\\  \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare\\  \blacksquare & -1 & 4 \end{bmatrix}$$	$$\begin{bmatrix} 1 & \blacksquare & 3\\  \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare\\  3 & \blacksquare & 4 \end{bmatrix}$$	$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & \blacksquare\\  \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare\\  3 & -1 & \blacksquare \end{bmatrix}$$
$$\begin{bmatrix} \blacksquare & 0 & 3\\  \blacksquare & 0 & 5\\  \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \end{bmatrix}$$	$$\begin{bmatrix} 1 & \blacksquare & 3\\  2 & \blacksquare & 5\\  \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \end{bmatrix}$$	$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & \blacksquare\\  2 & 0 & \blacksquare\\  \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \end{bmatrix}$$

De esta forma nos queda la matriz de menores, a esas matrices resultantes se las reemplazará por su determinante:

$$\begin{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 5\\  -1 & 4 \end{bmatrix}
&\begin{bmatrix}  2  & 5\\  3  & 4 \end{bmatrix}
&\begin{bmatrix} 2 & 0 \\  3 & -1  \end{bmatrix}
\\ \begin{bmatrix}  0 & 3\\  -1 & 4 \end{bmatrix}
&\begin{bmatrix} 1  & 3\\ 3  & 4 \end{bmatrix}
&\begin{bmatrix} 1 & 0 \\  3 & -1  \end{bmatrix}
\\\begin{bmatrix}  0 & 3\\   0 & 5 \end{bmatrix}
&\begin{bmatrix} 1  & 3\\  2  & 5 \end{bmatrix}
& \begin{bmatrix} 1 & 0 \\  2 & 0  \end{bmatrix}  \end{bmatrix}=
 \begin{bmatrix} 5 & -7 & -2\\  3 & -5 & -1\\  0 & -1 & 0 \end{bmatrix}
$$

Segundo paso: Matriz de cofactores

La matriz de menores alterna sus signos con la siguiente tabla de signos de la siguiente forma:

$\begin{bmatrix} 5 & -7 & -2\\  3 & -5 & -1\\  0 & -1 & 0 \end{bmatrix}$ y $\begin{bmatrix} + & - & +\\  - & + & -\\  + & - & + \end{bmatrix}$ Obtenemos finalmente: $\begin{bmatrix} 5 & 7 & -2\\  -3 & -5 & 1\\  0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

Tercer paso: Matriz traspuesta

A la matriz de cofactores se le aplica la traspuesta, de forma que todas sus filas se convierten en columnas:

$$\begin{bmatrix} 5 & -3 & 0\\  7 & -5 & 1\\  -2 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$

Cuarto paso: Dividir cada elemento entre el determinante

Finalmente, cada elemento es dividido entre el determinante de la matriz original, que era "-1" y obtenemos la matriz inversa.

$$A^{-1}=\begin{bmatrix} -5 & 3 & 0\\  -7 & 5 & -1\\  2 & -1 & 0 \end{bmatrix}$$

ÁLGEBRA DE MATRICES

Suma y resta de matrices

Para poder sumar o restar matrices estas deben cumplir la siguiente condición:

Las matrices deben ser del mismo orden.

Ejemplo: Sea $A$ y $B$, Calcular $A+B$ y $A-B$

$$A= \begin{bmatrix} 3& 4\\  4& 6\\  2& 1 \end{bmatrix}$$

$$B= \begin{bmatrix} 2& 5\\  -1& 0\\  5& 2 \end{bmatrix}$$

Calculamos la suma $A+B$:

$$A+B= \begin{bmatrix} 3+2& 4+5\\  4+-1& 6+0\\  2+5& 1+2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5& 9\\ 3& 6\\  7& 3 \end{bmatrix}$$

Calculamos la resta $A-B$:

$$A+B= \begin{bmatrix} 3-2& 4-5\\  4--1& 6-0\\  2-5& 1-2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1& -1\\ 5& 6\\  -3& -1 \end{bmatrix}$$

Producto de una matriz por un escalar o número real cualquiera

En este caso todos los elementos de la matriz se multiplican por el escalar.

Ejemplo: Multiplicar la matriz $C$ por 4

$$C= \begin{bmatrix} 2& 1& 4& 0\\  -4& -6& 3& 1 \end{bmatrix}$$

Calculamos el producto $4C$:

$$4C= \begin{bmatrix} 4\cdot 2& 4\cdot 1& 4\cdot 4& 4\cdot 0\\  4\cdot (-4)& 4\cdot (-6)& 4\cdot 3& 4\cdot 1 \end{bmatrix}$$

$$4C=  \begin{bmatrix} 8& 4& 16& 0\\  -16& -24& 12& 4 \end{bmatrix}$$

Producto de matrices

Para poder multiplicar matrices entre ellas se cumple la siguiente regla:

$$A_{m \times n} \cdot B_{n \times p} = R_{m \times p}$$

Es decir el número de columnas de la primera matriz debe coincidir con el número de filas de la segunda matriz, de forma que la matriz resultante tenga el mismo número de filas de la primera matriz y el mismo número de columnas de la segunda matriz.

Ejemplo: Multiplicar A y B si:

$$A_{2 \times 3}= \begin{bmatrix} -2& 4 & 0\\  1& 2 & 4\end{bmatrix}$$

$$B_{3 \times 2}= \begin{bmatrix} 1& 2\\  -1& 0\\  3& 1 \end{bmatrix}$$

La matriz resultante tendrá un orden de $2 \times 2$

$$R_{2 \times 2}= \begin{bmatrix} r_{1;1} & r_{1;2}\\ r_{2;1} & r_{2;2}\end{bmatrix}$$

Para hallar cada valor de sus elementos multiplicamos fila por columna:

$r_{1;1} = (-2) \cdot 1 + 4 \cdot (-1) + 0 \cdot 3=-6$

$r_{1;2} = (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 0 + 0 \cdot 1=-4$

$r_{2;1} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) + 4 \cdot 3=11$

$r_{2;2} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 4 \cdot 1=6$

$$R= \begin{bmatrix} -6 & -4\\ 11 & 6\end{bmatrix}$$

HIPÉRBOLA

ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA

Su ecuación depende de la orientación de esta.

Si la hipérbola es horizontal

Su ecuación será:

$$\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$$

Para hallar el valor de $a$, $b$ y $c$ se aplica un teorema de pitágoras:

$$c^{2}=a^{2}+b^{2}$$


Nota:

• Los vértices, focos y el centro están alineados con el eje "x", por lo tanto el valor de $h$ permanece constante en todos

Si la hipérbola es vertical

Su ecuación será:

$$\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1$$


Para hallar el valor de $a$, $b$ y $c$ se aplica un teorema de pitágoras:

$$c^{2}=a^{2}+b^{2}$$


Nota:

• Los vértices, focos y el centro están alineados con el eje "y", por lo tanto el valor de $k$ permanece constante en todos

ELIPSE

ECUACIÓN DE LA ELIPSE

Dependiendo de la orientación de la elipse tendremos dos formas de expresar su ecuación.

Si la elipse es horinzontal:

La ecuación será:

$$\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$$


Los valores de $a$, $b$ y $c$ se hallan mediante un teoréma de pitágoras:

$$a^{2}=b^{2}+c^{2}$$

Nota:

• Los vértices del eje mayor, los focos y el centro se encuentran alineados en el eje "x", es decir, el valor de $k$ no varía para ninguno.
• Los vértices del eje menor y el centro están alineados con el eje "y", por lo cual el valor de $h$ permanece constante en los tres.

Si la elipse fuera vertical

 

La ecuación será:

$$\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}+\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1$$

Los valores de $a$, $b$ y $c$ se hallan mediante un teoréma de pitágoras:

$$a^{2}=b^{2}+c^{2}$$

Nota:

• Los vértices del eje mayor, los focos y el centro se encuentran alineados en el eje "y", es decir, el valor de $h$ no varía para ninguno.
• Los vértices del eje menor y el centro están alineados con el eje "x", por lo cual el valor de $k$ permanece constante en los tres.

CIRCUNFERENCIA

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

La circunferencia, en las secciones cónicas es el espacio geométrico que comprende puntos equidistantes de un punto llamado centro, la distancia de estos puntos al centro es el radio de la circunferencia

$$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=R^{2}$$

El punto $(h,k)$ es el centro de la circunferencia y $R$ representa el radio de esta.

Nota: si el centro de la circunferencia fuera el origen de coordenadas, es decir el punto $(0;0)$, la ecuación de esta sería:


$$x^{2}+y^{2}=R^{2}$$

INECUACIONES DE PRIMER GRADO

Una inecuación, es similar a una ecuación en cuanto al modo de resolución para despejar la variable, pero en lugar de comparar por giualdad compara mediante signos como:

• menor
• mayor
• menor e igual
• mayor e igual

Esto trae como consecuencia que el conjunto solución no sea un número unico sino un rango de ellos.

Para ello debemos introducirnos en los intervalos

¿Qué es un intervalo?

Es una porción de la recata real. Si tenemos  a la recta real:


Un intervalo podría ser el siguiente:


Estos intervalos gráficos se pueden representar mediante simbología matemática, para ello veamos los tipos de intervalos:

Intervalos cerrados
$$[a;b]=\{ x \in \mathbb{R} / a \leq x \leq b\}$$
Intervalos abiertos
$$<a;b>=\{ x \in \mathbb{R} / a < x < b\}$$
Intervalos semiabierto
$$[a;b>=\{ x \in \mathbb{R} / a \leq x < b\}$$
$$<a;b]=\{ x \in \mathbb{R} / a < x \leq b\}$$
Intervalos infinitos
$$[a;+\infty>=\{ x \in \mathbb{R} / a \leq x \}$$
$$<a;+\infty>=\{ x \in \mathbb{R} / a < x \}$$
$$<-\infty;b]=\{ x \in \mathbb{R} / x \leq b\}$$
$$<-\infty;b>=\{ x \in \mathbb{R} / x < b\}$$

Inecuaciones lineales

Las inecuaciones lineales o de primer grado tienen como respuesta un conjunto solución que se expresa en intervalos, al igual que las ecuaciones, tienen sistemas compatibles determinados, indeterminados e incompatbiles.

Para el caso de los sistemas compatibles deteminados, supongamos estos cuatro ejemplos:

Ejemplo 01: Hallar el CS. de "x" en:

$3x+5<20$

Solución:

$$3x<20-5$$ $3x<15$ $$x<\frac{15}{3}$$ $x<5$

Graficamente:

Entonces, el CS sería:

$$CS: x \in <-\infty ; 5>$$


Ejemplo 02: Hallar el CS. de "x" en:

$3x+5>20$

Solución:

$$3x>20-5$$ $3x>15$ $$x>\frac{15}{3}$$ $x>5$

Graficamente:

Entonces, el CS sería:

$$CS: x \in <5; +\infty>$$


Ejemplo 03: Hallar el CS. de "x" en:

$3x+5<20$

Solución:

$$3x\geq20-5$$ $3x\geq15$ $$x\geq\frac{15}{3}$$ $x\geq5$

Graficamente:

Entonces, el CS sería:

$$CS: x \in [5; +\infty>$$


Ejemplo 04: Hallar el CS. de "x" en:

$3x+5\leq20$

Solución:

$$3x\leq20-5$$ $3x\leq15$ $$x\leq\frac{15}{3}$$ $x\leq5$

Graficamente:

Entonces, el CS sería:

$$CS: x \in <-\infty ; 5]$$

ELEMENTOS Y TIPOS DE MATRICES

¿Qué es una matriz?

Es un arreglo de números organizados en filas y columnas.

¿Qué elementos tiene?

Del siguiente ejemplo:

Las matrices tiene en su nomenclatura: una variable (A), que indica el número de columnas y filas que contiene la matriz:

Entre corchetes, se colocan los elementos de la matriz, que son los números. A estos números llamados entradas de la matriz o elementos de la matriz, se los puede ubicar mediante su columna y fila, como se aprecia a continuación:

¿Cuáles son los tipos de matrices?

Existen diversos tipos de matrices, entre ellas tenemos a:

• Matriz cuadrada

Es aquella que tiene el mismo número de columnas y filas

• Matriz fila

Es aquella que posee una sola fila

• Matriz columna

Aquella que posee una sola columna

• Matriz diagonal

Es una matriz cuadrada que posee valores iguales a cero en todos los elementos que no pertenezcan a la diagonal de la matríz

• Matriz escalonada

Es una mtriz donde el primer elemento debe ser la unidad, y cada fila el primer elemento no nulo, debe ser igual a la unidad, teniendo en cuenta que cada valor diferente de cero en cada fila debe comenzar en la columna siguiente al elemento unitario anterior.

• Matriz triangular superior

Es aquella matriz cuadrada donde los elementos que se encuentran debajo de la diagonal son ceros.

• Matriz triangular inferior

Es aquella matriz cuadrada donde los elementos que se encuentran encima de la diagonal son ceros.

• Matriz identidad

Es una matriz diagonal, donde todos los elementos de la diagonal son iguales a 1.

• Matriz nula

Es una matriz donde todos los elementos son cero.

• Matriz opuesta

En base a una matriz, se dice que su opuesta es aquella que es identica en sus elementos pero con signos opuestos en cada uno de ellos.

• Matriz traspuesta

 En base a una matriz, su traspesta es aquella donde las columnas pasan a ser filas y viceversa.

• Matriz simétrica

 Se dice de las matrcies cuadradas donde sus traspuestas son iguales a la matriz original.

• Matriz antisimétrica

 En base a una matriz cuadrada, su antsimétrica es aquella igual a la opuesta de su traspuesta.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

¿Qué es una ecuación?

Es la comparación de dos expresiones mediante la igualdad. Por ejemplo, $x=10$

¿Qué es una ecuación lineal?

Llamadas también ecuaciones lineales, se caracterizan por que el exponente mayor de la variable a calcular es 1.

Ejemplos:

• $x+2=18$
• $4x-12=56$
• $3(x+4)-14=5(x-2)-10$

En todas las anteriores se aprecia que el exponente de la variable "x" es igual a 1.

Las ecuaciones tienen un método de solución mediante el cual se busca despejar la variable, para ello se hace uso de operaciones aritméticas de suma, resta, multiplicación y división.

Ejemplo: Hallar el CS de "x" si:
$$2x-4=12$$

Solución:
El número 4 que está restando en un lado de la ecuación pasa al otro sumando$$2x=12+4$$
$$2x=16$$
Ahora, el número 2 que está multiplicando a la variable, pasa al otro lado de la ecuación dividiendo$$x=\frac{16}{2}$$
$$x=8$$
Por lo tanto, la respuesta sería: $CS: \{8\}$

Tipos de sistemas de solución de las ecuaciones lineales.

Tenemos 3 casos:

• Sistema compatible determinado
• Sistema compatible indeterminado
• Sistema incompatible

Sistema compatible determinado

Supongamos la siguiente ecuación:
$$4x-5=12$$
Comenzamos a resolver:
$$4x=12+5$$
$$4x=17$$
$$x=\frac{17}{4}$$
$$x=4,25$$

Tenemos que: $CS: \{ 4,25 \}$

La ecuación tiene un conjunto solución único, a esto se le llama: Sistema compatible determinado

Sistema compatible indeterminado

Supongamos la siguiente ecuación:
$$4x-5=2(2x+2)-9$$
Comenzamos a resolver:
$$4x-5=4x+4-9$$
$$4x-5=4x-5$$
$$4x-4x=-5+5$$
$$0=0$$

En este caso la variable ha desaparecido, pero al final la ecuación resulta ser una afirmación verdadera, pues 0 es igual a 0

Tenemos que: $CS: \mathbb{R}$

La ecuación tiene como conjunto solución a todos los números reales a esto se le llama: Sistema compatible indeterminado

Sistema incompatible

Supongamos la siguiente ecuación:
$$3x+10=3(x+3)$$
Comenzamos a resolver:
$$3x+10=3x+9$$
$$3x-3x=9-10$$
$$0=-1$$

En este caso la variable ha desaparecido, pero al final la ecuación resulta ser una afirmación falsa, pues 0 no es igual a -1

Tenemos que: $CS: \{ \} $

La ecuación tiene conjunto solución vacío, es decir ningún valor logra satisfacer la ecuación a esto se le llama: Sistema incompatible

MCD - MCM DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Para calcular el máximo común divisor o mínimo común múltiplo de un conjunto de expresiones algebraicas, estas deben estar previamente factorizadas, para luego proceder.

MCD

Ese comprende todos los factores comunes de las expresiones, si un factor se repite en las expresiones algebraicas, se tomará aquel con menor exponente

Ejemplo:
Hallar el MCD de $A(x)$ y $B(x)$
$$A(x)=(x-3)^{2}(x-1)^{2}(x+2)^{5}$$
$$B(x)=(2x+3)(x-1)^{4}(x+2)^{3}$$

Vemos que los factores que se repiten son: $(x-1)$ y $(x+2)$, estos serán el MCD, pero en ambas expresiones tienen exponentes diferentes, se tomará para el MCD el MENOR, quedando el resultado el siguiente:

$$MCD(A;B)=(x-1)^{2}(x+2)^{3}$$

MCM

Ese comprende todos los factores comunes de las expresiones y los no comunes, si un factor se repite en las expresiones algebraicas, se tomará aquel con mayor exponente


Ejemplo:
Hallar el MCM de $A(x)$ y $B(x)$
$$A(x)=(x-3)^{2}(x-1)^{2}(x+2)^{5}$$
$$B(x)=(2x+3)(x-1)^{4}(x+2)^{3}$$

Vemos que los factores que se repiten son: $(x-1)$ y $(x+2)$, estos serán parte del MCM, pero en ambas expresiones tienen exponentes diferentes, se tomará para el MCD el MAYOR. Ademas, se adicionarán aquellos términos no comunes, quedando el resultado el siguiente:

$$MCM(A;B)=(x-1)^{4}(x+2)^{5}(x-3)^{2}(2x+3)$$

CALCULADORA DE PORCENTAJES

Cálculo de porcentajes

Ingresa el número y luego el porcentaje que deseas calcular.

Nota: para decimales usar punto en lugar de coma.

Cantidad:

Porcentaje:
%

---

Resultado:

 

PORCENTAJES

El uso de porcentajes nos permite representar la relación entre dos cantidades, por ejemplo:

De 100 personas, 5 son programadores y 7 son diseñadores, esto mediante porcentajes se representaría como: 5% son programadores y 7% son diseñadores, si lo hicieramos mediante decimales o fracciones, no sería de tan fácil comprensión.

¿Qué significa el símbolo %?

Significa tanto por ciento y en términos matemáticos la equivalencia sería:

$$ \% = \frac{1}{100} $$

¿Cómo se halla el tanto por ciento de una cantidad?

Si deseamos hallar por ejemplo, el 20 % de 80, lo que debemos hacer es multiplicar ambas expresiones:

$$20 \%\cdot80=20\cdot\frac{1}{100}\cdot80=\frac{1600}{100}=16$$

De esa forma sabemos que el 20 % de 80 es 16.

Si deseas puedes usar la siguiente calculadora de porcentajes

CLIC AQUÍ

POLINOMIOS ESPECIALES

Tenemos varios tipos de polinomios especiales entre ellos:

• Polinomio ordenado
• Polinomio completo
• Polinomio homogéneo
• Polinomio idénticamente nulo
• Polinomio mónico

Y cuando tenemos más de dos polinomios podemos decir si son:

• Idénticos
• Semejantes

Polinomio ordenado 

Se dice cuando los exponentes de una de sus variables estan en orden ascendente o descendente, y pueden ser ordenados respecto a una variable o todas sus variables dependiendo del caso.

Ejemplo 01:
Sea el polinomio $P(x)$:
$$P(x)=x^{5}-3x^{2}+2x-15$$
Podemos reescribirlo de la siguiente manera:
$$P(x)=x^{5}-3x^{2}+2x^{1}-15x^{0}$$
Se puede apreciar que los exponentes de la variable "x" están ordenados de forma descendente, y al ser la única variable que posee el polinomio se dice que: El polinomio $P(x)$ está ordenado de forma descendente.

Ejemplo 02:
Sea el polinomio $P(x;y)$:
$$P(x;y)=2x^{2}y-10x^{7}y^{3}+y^{4}x+9y^{8}$$
Podemos reescribirlo de la siguiente manera:
$$P(x;y)=2x^{2}y^{1}-10x^{7}y^{3}+y^{4}x+9y^{8}$$
Se puede apreciar que los exponentes de la variable "x" no están ordenados, pero los exponentes de la variable "y" están ordenados de forma ascendente se dice entonces que: El polinomio $P(x;y)$ está ordenado de forma ascendente respecto a "y".

Polinomio completo

Se dice cuando los exponentes de una de sus variables se presentan desde el grado 0 hasta el grado equivalente al número de términos menos uno, y pueden ser completos respecto a una variable o todas sus variables dependiendo del caso.

Ejemplo 01:
Sea el polinomio $P(x)$:
$$P(x)=x^{2}-3x^{3}+2x-15$$
Podemos reescribirlo de la siguiente manera:
$$P(x)=x^{2}-3x^{3}+2x^{1}-15x^{0}$$
Se puede apreciar que los exponentes de la variable "x" que aparecen son: 2; 3; 1 y 0, vemos que el número de términos es 4, y los exponentes presentes vienen desde el 0 hasta el 3. Además, al ser la única variable que posee el polinomio se dice que: El polinomio $P(x)$ es completo.

Ejemplo 02:
Sea el polinomio $P(x;y)$:
$$P(x;y)=2x^{2}y^{2}-10x^{7}y+y^{3}x+9$$
Podemos reescribirlo de la siguiente manera:
$$P(x;y)=2x^{2}y^{2}-10x^{7}y+y^{3}x+9y^{0}$$
Se puede apreciar que los exponentes de la variable "x" que aparecen son: 2; 7; 0 y 0, del lado de la variable "y" son: 2; 1; 3 y 0, vemos que el número de términos es 4, y los exponentes presentes vienen desde el 0 hasta el 3 solo en la variable "y", esto significa que: El polinomio $P(x;y)$ es completo respecto a "y".

Polinomio homogéneo

Se dice cuando los grados de todos los términos que componen al polinomio son iguales.

Ejemplo:
Sea el polinomio $P(x;y;z)$:
$$P(x)=x^{5}yz^{2}-3x^{2}y^{6}+2xz^{7}$$
Podemos apreciar los grados de los monomios que lo componen:

• $x^{5}y^{1}z^{2}: Grado = 8$
• $-3x^{2}y^{6}: Grado = 8$
• $2x^{1}z^{7}: Grado = 8$

Se puede apreciar que los grados de todos los términos es 8, se dice que: El polinomio $P(x)$ es homogéneo de grado 8 o tiene grado de homogeneidad 8.

Polinomio idénticamente nulo

Se da cuando todos los coeficientes de sus términos son iguales a cero.

Ejemplo:
Sea el polinomio $P(x)$:
$$P(x)=0x^{5}-0x^{2}+0x-0$$
Se dice que: El polinomio $P(x)$ es idénticamente nulo o $P(x) \equiv 0$.

Polinomio mónico

Se dice cuando el coeficiente del término de mayor grado es igual a 1.

Ejemplo 01:
Sea el polinomio $P(x)$:
$$P(x)=x^{5}-3x^{2}+2x-15$$

El coeficiente del término de mayor grado $(x^{5})$ es igual a 1. Por lo tanto, El polinomio $P(x)$ es mónico.

Polinomios idénticos

Cuando tenemos dos o más polinomios donde sus variables, su número de términos y lo términos son completamente iguales entre si, sin la necesidad de estar ordenados de la misma forma, se habla de polinomios idénticos

Ejemplo:
Sea el polinomio $P(x)$ y $Q(x)$:
$$P(x)=x^{5}-3x^{2}+2x-15$$
$$Q(x)=x^{5}-15+2x-3x^{2}$$
Si comparamos nos daremos cuenta que poseen la misma variable "x", ambos tienen 4 términos y al compararlos entre ellos notaremos que son iguales. En ese caso decimos que: El polinomio $P(x)$ es idéntico al polinomio $Q(x9)$ o $P(x) \equiv Q(x)$.

Polinomios semejantes

Cuando tenemos dos o más polinomios donde sus variables, su número de términos y lo términos son semejantes, es decir su parte variables es igual, pero no sus coeficientes. Sin la necesidad de estar ordenados de la misma forma, se habla de polinomios semejantes

Ejemplo:
Sea el polinomio $P(x)$ y $Q(x)$:
$$P(x)=x^{5}+3x^{2}-2x-1$$
$$Q(x)=2x^{5}+5+2x-3x^{2}$$
Si comparamos nos daremos cuenta que poseen la misma variable "x", ambos tienen 4 términos y al compararlos entre ellos notaremos que son semejantes, ya que su parte variable es igual, pero no sus coeficientes. En ese caso decimos que: El polinomio $P(x)$ es semejante al polinomio $Q(x9)$.

 

MONOMIOS Y POLINOMIOS

Monomios

Son expresiones algebraicas que poseen un solo termino y este termino debe ser de tipo entero, es decir sus exponentes no pueden ser negativos o fracciones

Ejemplo

Grados relativos y absoluto

El grado relativo se aplica a cada variable, es decir si tenemos dos variables, tendremos dos grados relativos. El grado absoluto se aplica al monomio y coincide con la suma de todos los grados relativos

Del ejemplo anterior: $$M(x,y,z,w)=-45x^{2}yz^{5}w^{3}$$ Calculamos sus grados relativos. Como tiene 4 variables, tendra un grado relativo para cada variable.
Solución:El grado relativo de una variable en un monomio es su exponente

$$GR(x)$$	$$GR(y)$$	$$GR(z)$$	$$GR(w)$$
$$2$$	$$1$$	$$5$$	$$3$$
$$GA(M)$$ El grado absoluto es la suma de todos los grados relativos
$$1$$

Polinomios

Son expresiones algebraicas que estan compuestas de dos o mas monomios

Ejemplo

Grados relativos y absoluto

El grado relativo se aplica a cada variable, solo que esta vez el grado relativo sera el mayor exponente que presente la variable. El grado absoluto sera el mayor grado absoluto de todos los terminos que componen el polinomio

Del ejemplo anterior: $$P(x,y)=2x^{2}y^{3}+8x^{6}y^{2}-x^{3}y^{9}$$
Solucion: El grado relativo de una variable en un polinomio es el mayor exponente que presente en todos los monomios que componene el polinomio.

$$GR(x)$$	$$GR(y)$$
$$6$$	$$9$$
$$GA(M)$$ El grado absoluto es el mayor grado absoluto de todos los monomios que componene el polinomio
$$12$$

TÉRMINOS ALGEBRAICOS

¿Qué es un término algebraico?

Es un conjunto de números, llamados coeficientes y letras, llamadas variables.

Ejemplo:

 

¿Cómo se clasifican?

 Se clasifican en entero, fraccionario e irracional.

ENTERO: Cuando los exponentes de las variables son números enteros no negativos.

$$5x^{4}$$

$$-15y^{6}z$$

$$\frac{2}{7}x^{2}z^{3}$$

FRACCIONARIO: Cuando el exponente es negativo

$$25x^{-2}$$

$$-y^{-1}$$ $$\frac{2}{x^{2}z^{3}}$$

IRRACIONAL: Cuando el exponente es fraccionario, apareciendo una raíz.

$$\sqrt[3]{x}$$

$$\sqrt[5]{x^{2}} \cdot \sqrt[4]{y^{3}}$$

¿Qué es una expresión algebraica?

Es la agrupación de terminos algebraicos mediante sumas y/o restas

Ejemplo:
$$5x^{4}-3x^{2}+2x^{7}$$
$$\sqrt[4]{y^{3}}-2z^{4}$$

¿Qué son términos semejantes?

Son aquellos téminos algebraicos que tienen sus variables iguales entre sí.

• Estos pueden operarse aritméticamente.

Ejemplo:
$$5x^{3}-3x^{3}=2x^{3}$$
$$7xy^{2}-2xy^{2}=5xy^{2}$$
$$15\sqrt[5]{x^{2}}-10\sqrt[5]{x^{2}}=5\sqrt[5]{x^{2}}$$

 Nota: Observemos que solo se operan los coeficientes, quedando la parte literal o variables siempre igual.